Algèbre

Matrices

• Définition : introduction aux systèmes linéaires (intérêt dans la vie courante et en sciences), définition des matrices sur un corps $\mathbb K$ ($\mathbb R$ ou $\mathbb C$), vecteurs lignes et vecteurs colonnes. Notations $M_{m,n}(\mathbb K)$ et $M_n(\mathbb K)$. Interprétation de l'addition comme addition vectorielle et du produit comme produit scalaire. L'ensemble $M_{m,n}(\mathbb K)$ est un $\mathbb K$-espace vectoriel. Propriétés de la multiplication : distributivité, associativité, non-commutativité et non-intégrité. Notation de Martin. L'ensemble $M_n(\mathbb K)$ est un anneau, et est donc une $\mathbb K$-algèbre. Ecriture simplifiée des systèmes d'équations linéaires. Matrices particulières (nulle, identité, scalaire, diagonale, triangulaire), inverse.
• Pivot de Gauss : opérations élémentaires sur les lignes, transvections $T_{ij}(\alpha)$ pour $i\ne j$, dilatations $D_i(\alpha)$ pour $\alpha$ non nul, permutations $\sigma_{ij}$ pour $i\ne j$, représentation des systèmes linéaires $AX=B$ par des matrices $M=(A|B)$, théorème de Gauss :
  • 1. Si on passe de $M$ à $M'$ par des opérations élémentaires, les systèmes qu'elles représentent ont mêmes solutions.
  • 2. Toute matrice peut être ramenée par des opérations élémentaires à une matrice échelonnée.
  • 3. Un système représenté par une matrice échelonnée a des solutions si et seulement s'il n'y a pas de pivot en dernière colonne. Dans le cas inverse, les variables libres sont celles correspondant aux colonnes sans pivot et les variables liées s'expriment de façon unique comme combinaisons linéaires des variables libres et des coefficients de $B$.

• Algèbre II - Espaces vectoriels
  • Introduction et définition : exemples d'espaces vectoriels à partir de la géométrie euclidienne, des systèmes linéaires et des équations différentielles linéaires, définition des $\mathbb K$-espaces vectoriels ($\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb K=\mathbb C$ - on ne s'attarde pas ni sur la notion de groupe, ni sur celle d'anneau ou de corps), exemples : $\mathbb R^n$, $\mathbb C^n$ sur $\mathbb C$ ou $\mathbb R$, ensemble des solutions d'un système linéaire homogène, espace des fonctions de $X$ dans $\mathbb K$ (noté $\mathbb K^X$ ou ${\cal F}(X,\mathbb K)$), fonctions continues de $\mathbb R$ dans $\mathbb K$, des fonctions dérivables, de classe $C^k$, $n$-fois dérivables, de classe $C^\infty$, des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène, des fonctions polynômes, des polynômes à coefficients dans $\mathbb K$ (défini comme l'ensemble des suites presque nulles dans $\mathbb K^\mathbb N$), des suites à valeurs dans $\mathbb K$, des matrices.
  • Opérations : intersection de deux sous-espaces vectoriel, somme de deux sous-espaces vectoriel (espace engendré par la réunion de deux sous-espaces vectoriels), espace engendré par un sous-ensemble de $E$, caractérisation sous la forme du plus petit sous-espace vectoriel contenant $S$ ou comme $\sum_{x\in S} Vect(x)$, somme directe de deux sous-espaces vectoriels. Exemples et contre-exemples. Sommes directe, produit cartésien, exemples.
  • Bases : notion de famille, de combinaison linéaire d'une famille. Définition de famille liée, de famille libre, de famille génératrice, de base. Exemples, base canonique, caractérisation par existence et/ou unicité de la décomposition en combinaison linéaire.
  • Dimension : espaces de dimension finie, exemples. Proposition fondamentale ($n+1$ vecteurs qui sont combinaisons linéaires de $n$ vecteurs forment une famille liée), dimension d'un espace vectoriel de dimension finie, caractérisation des bases. Notion de supplémentaire, non-unicité. Évocation de la notion d'espace vectoriel quotient. Théorème de la base incomplète, existence de supplémentaires (ces deux points sont évoqués dans le cas général et démontrés dans le cas de la dimension finie). Dimension de $E\oplus F$, $E\times F$, croissance de la dimension par inclusion.
• Algèbre III - Applications linéaires
  • Applications linéaires : définition, exemples. Noyau, image. Caractérisation des applications injectives. Exemples : $X\mapsto AX$, similitudes du plan (application aux lois d'addition des fonctions trigonométriques), projection (écriture $\displaystyle X\mapsto \frac{\det(u,X)}{\det(u,v)}v$). Définition d'un projecteur linéaire et propriétés (projecteur conjugué, décomposition en somme directe associée). Construction d'une application par image d'une base.
  • Théorie de la dimension : théorème du rang, formule de Grassmann, équivalence entre injectivité, surjectivité et bijectivité dans le cas des espaces de même dimension finie.
  • Matrice d'une application linéaire : définition, exemple, interprétation du produit matriciel. Notation $Mat_B^{B'}(u)$ pour la matrice de $u\in{\cal L}(E,E')$ de $(E,B)$ dans $(E',B')$.
  • Changement de base : définition, la matrice de passage $P_B^{B'}=Mat_B^{B'}(Id_E)$ est la matrice des nouveaux vecteurs ($B'$) exprimés dans l'ancienne base ($B$), théorème de changement de base ($B=Q^{-1}AP$) et inverse de $P_B^{B'}$. Exemples : calcul d'une matrice de symétrie, toute application linéaire admet une représentation matricielle sous la forme $\displaystyle\left(\begin{array}{cc}I_r&0\\ 0&0\end{array}\right)$, interprétation en terme de pivot de Gauss, caractérisation de $r$ comme rang de $u$. Application au calcul de la dimension de l'espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs (rang d'un système de vecteurs). Noyau et image de l'application définie par $u(e_i)=f_i$ pour $(e_i)$ une base de $E$ et $(f_i)$ une famille quelconque dans $F$.
  • Exemples : formes linéaires, hyperplans, projecteurs, symétries, affinités. Espace vectoriel dual, $E^*$, interprétation des vecteurs lignes comme des formes linéaires et comme des équations linéaires. Caractérisation des symétries par $s^2=Id$, décomposition $E=\mathrm{Ker}(s-Id)\oplus\mathrm{Ker}(s+Id)$.
  • Isomorphisme(s) : définition, $GL(E)$, $GL_n(\mathbb K)$. Deux espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement s'ils ont même dimension. Isomorphisme $E\simeq\mathbb K^n$ relatif à une base. Isomorphismes fondamentaux : ${\cal L}(E,F)\simeq{\cal M}_{m,n}(\mathbb K)$, $End(E)\simeq{\cal M}_{n}(\mathbb K)$ et dans cet isomorphisme l'image de $GL(E)$ est $GL_n(\mathbb K)$, pour $u\in{\cal L}(E,F)$, si $E=\mathrm{Ker}(u)\oplus G$ alors $G\simeq\Im(u)$ et l'isomorphisme est donné par $u$.
  • Transposition : Identification $\mathbb K^n\simeq M_{n,1}(\mathbb K)$ et $(\mathbb K^n)^*\simeq M_{1,n}(\mathbb K)$, matrices de formes linéaires. Définition de la transposée ${}^tA$. Interprétation comme application entre espaces duaux ${}^tu$ : $F^*\to E^*$, avec ${}^tu(f)=f\circ u$. Compatibilité avec la structure d'espace vectoriel et la multiplication. Opérations élémentaires sur les colonnes, invariance du rang par transposition. Matrices symétriques et antisymétriques.
  • Compléments : changement de base pour les vecteurs, invariance du rang par composition avec un isomorphisme.
• Algèbre IV - Structures mères (résumé de cours)
  • Introduction historique : Bourbaki, le structuralisme mathématique. Rappels de logique : connecteurs logiques, quantificateurs, tautologies.
  • Théorie des ensembles : paire, ensemble vide, définition en extension et en compréhension. Réunion, intersection, différence, complémentaire, différence symétrique. Lois de Morgan.
  • Fonctions : graphe, correspondance, graphe fonctionnel, application. Application identique, composition, surjection, injection, bijection, involution. Image directe ($f_*$, covariance) et image réciproque ($f^*$, contravariance). Partie stable, invariante, fixe. Application induite sur une partie stable. Fonction à valeurs dans un produit.
  • Familles, recouvrement, partition, réindexation.
  • Lois : lois interne et externe. Propriétés communes.
  • Relations binaires : équivalence et ordre. Majorant, plus grand élément, élément maximal, borne supérieure etc. Fonctions monotones, strictement monotones. Ordre opposé, induit, fonctionnel, produit, lexicographique.
  • Groupes : groupe, groupe abélien, sous-groupe, homomorphisme de groupe.
  • Anneaux : exemples, construction de $\mathbb Z$ à partir de $\mathbb N$, morphismes d'un groupe abélien. Sous-anneaux, morphisme d'anneau, morphisme canonique de $\mathbb Z$ dans $A$. Éléments réguliers (inversibles), diviseurs de 0. Groupe des unités. Règles de calcul (élément absorbant, règle des signes, identités remarquables, formule du binôme).
• Algèbre V - Polynômes
  • Introduction historique. Babylone, antiquité grecque, Al-Khwarizmi, renaissance italienne, Recorde (1550, signe d'égalité), Viète, théorème fondamental de Girard (1629) à Gauss (1799), liens avec l'analyse (Newton, Leibniz), substitutions et fonctions symétriques (Vandermonde 1770, Lagrange, Gauss, Galois et Abel).
  • Définition de $\mathbb K[X]$, structure d'anneau, d'algèbre, écriture canonique, plongement de $\mathbb K$, degré, coefficient constant, valuation, coefficient dominant. Polynômes unitaires (normalisés), l'espace vectoriel $\mathbb K_n[X]$. Intégrité, régularité, composition, substitution/spécialisation. Fonction polynôme associée, morphisme de $\mathbb K[X]$ dans $\mathbb K^{\mathbb K}$, algorithme de Hörner. Dérivation, formules de Leibniz, Taylor et MacLaurin.
  • Structure d'anneau euclidien, unités, éléments associés, pgcd, ppcm, relation de Bézout, polynômes premiers entre eux (deux à deux, dans leur ensemble). Lemme de Gauss, polynômes irréductibles. Racines, multiplicité, caractérisation par $P\wedge P'$, par $P(x)=P'(x)=\ldots=P^{(k-1)}(x)=0$ et $P(X)=(X-x)^kQ(X)$. Racines complexes d'un polynôme à coefficients réels, racine opposée d'un polynôme pair (ou impair). Relations coefficients racines, fonctions symétriques élémentaires, théorème de Newton (énoncé et pratique). Interpolation de Lagrange.
  • Fractions rationnelles : définition, corps des fractions rationnelles, fonction rationnelle associée, degré, dérivée, spécialisation, composition, plongement de $\mathbb K[X]$ (énoncés).
• Algèbre VI - Cardinaux, arithmétique et     théorie des groupes  
  • Introduction historique : Euclide, P. de Fermat (descente infinie), B. Pascal, Jacob Bernoulli (récurrence), H. G. Grassmann (formalisation du principe de récurrence), G. Peano (axiomatisation et symboles $\in$, $\subset$, $\cup$, $\cap$, $A\setminus B$) et R. Dedekind (théorème de récurrence). G. Cantor (notion de cardinal, théorie des ensembles). Propriétés fondamentales de l'ensemble $\mathbb N$, notion d'ensemble fini, d'ensemble dénombrable.
  • Cardinaux finis : ensembles finis, formule du crible, combinaisons et arrangements.
  •   Arithmétique : diviseurs, division euclidienne, algorithme d'Euclide, pgcd, ppcm, $a\mathbb Z\cap b\mathbb Z=(a\vee b)\mathbb Z$, $a\mathbb Z+b\mathbb Z=(a\wedge b)\mathbb Z$, relation de Bézout, nombres premiers entre eux (deux à deux, dans leur ensemble), lemme de Gauss, nombres premiers, théorème fondamental de l'arithmétique. Résolution de l'équation diophantienne $ax+by=c$.
  • Groupe : exemples, $\mathfrak{S}_n$, ${\mathfrak S}(X)$, $End(E)$, $\mathbb Z/n\mathbb Z$, $C_n$, $D_n$, $V_4$. Caractérisation de l'existence d'un inverse à gauche et d'un inverse à droite, égalité des deux inverses quand ils existent. Notion de morphisme de groupe, d'isomorphisme. Existence et unicité du morphisme signature de ${\mathfrak S}_n$ dans $\mathbb Z/2\mathbb Z$.
  • $\mathfrak{S}_n$ : Décomposition d'une permutation en cycles, en produits de transposition. Existence et unicité de l'homomorphisme signature, caractérisation par la parité du nombre d'inversions : $\varepsilon(\sigma)=(-1)^q=(-1)^{|A|}$ si $\sigma=\tau_1\circ\tau_2\circ\cdots\circ\tau_q$ est une décomposition en produit de transpositions et si $A=\{(i,j)\in\mathbb N^2\;|\;1\leq i\lt j\leq n$ et $\sigma(i)\gt\sigma(j)\}$.
• Algèbre VII - Déterminants
  • Introduction géométrique : formules pour la surface d'un parallélogramme et le volume d'un parallélépipède. Analyse des symétries.
  • Rang : rang d'un système de vecteurs et de la matrice associée, calcul par le pivot de Gauss.
  • Formes multilinéaires alternées : définition, critères. ${\cal A}_n(E)$ est un espace vectoriel de dimension 1 (pour $E$ de dimension $n$) et une forme $n$-linéaire alternée est nulle si et seulement si elle est nulle sur une base de $E$.
  • Déterminants : déterminant par rapport à une base ${\cal B}$ ($\det_{\cal B}$), déterminant canonique dans $\mathbb K^n$, caractérisation des vecteurs liés par le déterminant, déterminant d'une matrice, caractérisation des matrices inversibles par le déterminant. Homomorphisme déterminant de $GL_n(\mathbb K)$ dans $\mathbb K^\star$, en particulier $\det(AB)=\det(A)\det(B)$. Déterminant d'un endomorphisme et indépendance du déterminant en fonction de la base.
  • Transposée : $\mathrm{rg}({}^tA)=\mathrm{rg}(A)$, $\det({}^tA)=\det(A)$.
  • Calculs de déterminants : déterminants des matrices élémentaires, $\det(\lambda A)=\lambda^n\det(A)$, déterminant d'une matrice triangulaire, déterminant par pivot de Gauss, développement du déterminant par rapport à une ligne ou une colonne.
  • Calculs de rangs (suite) : caractérisation par les mineurs.