| Semaine | Exercices demandés, suggérés ou traités en cours |
|---|---|
| 24/05-29/05 | inégalité triangulaire pour la norme $||.||_p$, théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb{R}^n$, théorème des compacts emboîtés, théorèmes de Weierstrass et de Heine dans $\mathbb{R}^n$, étudier $t\mapsto\int_0^1f(x,t)dx$ pour $f(x,t)=tx/(x^2+t)^2$ si $t\ne0$ et $f(x,0)=0$, produits scalaires $tr({}^tMN)$ sur $M_n(\mathbb{R})$ et $\sum P(x_k)Q(x_k)$ sur $\mathbb{R}_n[X]$ |
| 18/05-22/05 | suite de Fibonacci, suite $u_{n+2}+u_n=0$, suite $u_{n+2}=4u_{n+1}-4u_n$, suite $u_{n+1}=\frac{u_n+1}{u_n+2}$, suite $u_{n+1}=\frac{3u_n-1}{u_n+1}$, vitesse de convergence de la méthode de la fausse position. |
| 10/05-15/05 | Abscisse curviligne associée à l'arc $\displaystyle\left(\mathbb R,t\mapsto\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)\right)$, Abscisse curviligne pour une cardioïde, Centre de courbure d'un cercle, développée d'une ellipse (courbe de Lamé obtenue par affinité à partir d'une astroïde), développée d'une spirale logarithmique |
| 03/05-07/05 | Théorème du prolongement de la dérivée, sans utiliser la règle de L'Hospital., Solution sur $\mathbb R$ de $|x|y'+3y=1/(1+x^2)$, Étude de la fonction $x\exp(x/(x^2-1))$. |
| 05/03-09/04 | Quelques cas de compatibilité de la dérivabilité à la structure d'algèbre. Inégalités de Hölder et de Minkowski (notamment pour $p=2$). |
| 29/03-02/04 | L'intégrabilité et l'intégrale ne changent pas si on modifie une fonction en un nombre fini de points. |
| 22/03-26/03 | Étude de la solution de $x+\ln(x)=n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Limite $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(e^{2/\sqrt{n}})^2/(\ln(1+1/n^3).((n+1)^3-n^3))$. Quelques cas de compatibilité de la continuité à la structure d'algèbre. |
| 15/03-19/03 | Quelques cas de compatibilité de la limite ou de la divergence vers $\pm\infty$ à la structure d'algèbre. Définition du logarithme en base $b$ par les bornes supérieures. Moyenne arithmético-harmonique : convergence vers la moyenne géométrique. |
| 08/03-12/03 | Écrire la définition de la divergence. Déduire le passage à la limite des inégalités larges du passage à la limite de la valeur absolue. |
| 01/03-05/03 | Décomposition sur $\mathbb C$, $\mathbb R$ et $\mathbb Z$ de $X^n-1$ (polynômes cyclotomiques). Calculs des puissances cinquièmes des racines (inconnues) d'un polynôme de degré 3, d'un polynôme dont les racines sont les carrés des précédentes. |
| 01/02-05/02 | Exercice 2 de la feuille 13. |
| 25/01-29/01 | Exercices 6 et 8 de la feuille 10. |
| 18/01-22/01 | Calcul de la signature grâce au nombre d'orbites : $\varepsilon(\sigma)=(-1)^{n-\omega}$ où $\omega$ est le nombre d'orbites sous $\sigma$, i.e. le nombre d'ensembles différents de la forme $\{i,\sigma(i),\sigma^2(i),\ldots\}$. |
| 14/12-18/12 | Recherche de familles libres, liées, génératrices sur un exemple de quatre vecteurs de $\mathbb R^3$. |
| 07/12-11/12 | Équivalence entre la préservation des combinaisons linéaires et celle des deux lois (interne et externe). |
| 30/11-04/12 | Correction du DS n°4 et du DL n°3, notamment calculs de $\displaystyle\int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2}dx$ et $\displaystyle\int \frac{dx}{(2+\cos(x))(3+\cos(x))}$. |
| 23/11-27/11 | Classe fermée par le préfet pour cause de grippe. |
| 16/11-20/11 | Résolution de $y"-3y'+2y=0$, de $y"+y=0$ et de $y"-4y'+4y=0$. |
| 09/11-13/11 | Exercices 1, 2 et 5 de la feuille de TD n°6. |
| 19/10-23/10 | Exercices 1 et 4 de la feuille de TD n°5. Exercices 5, 12 et 13 demandés en DL. |
| 12/10-16/10 | Montrer que $(a,b)\mapsto ab$ est bilinéaire symétrique définie positive sur $\mathbb R$. |
| 05/10-09/10 | Obtention d'une équation de la droite $(AB)$ via $det(\vec{AM},\vec{AB})=0$. Écriture la médiatrice. Obtention d'un vecteur normal et d'un vecteur directeur à partir d'une équation cartésienne. Écriture en complexe des équations des cercles-droites, du produit scalaire, du déterminant. |
| 28/09-02/10 | Écriture de la symétrie axiale par rapport à une droite passant par $z_0$ et de vecteur directeur d'affixe $u=e^{i\theta}$ ($z\mapsto z_0+ e^{2i\theta}(\overline{z}-\overline{z_0})$). Calcul des racines carrées des sommets et milieu du carré de diagonale $((1,1),(-1,-1))$. Écriture de l'équation $\displaystyle Arg\left(\frac{z-b}{z-a}\right)=\lambda$ sous la forme $|z-u-iv\cot(\lambda)|^2=|v|^2/\sin^2(\lambda)$ et $\sin(\lambda)Im\left(\frac{z-u}v\right)\gt0$. Interprétation comme l'intersection d'un cercle et d'un demi-plan. Lien avec le théorème de l'angle inscrit et la paramétrisation par la cotangente du cercle unité ($e^{i\theta}=(x+i)/(x-i)$ avec $x=\cot(\theta/2)$). |
| 21/09-25/09 | Formule logarithmique pour les fonctions hyperboliques inverses. Formule d'addition pour $\tanh$. Écriture complexe d'un symétrie axiale orthogonale plane. |
| 14/09-18/09 | Calcul de l'aire sous \(t^a\) par la méthode de Fermat (rectangles de longueur \(\theta^k-\theta^{k+1}\)) et démonstration qu'une primitive de \(1/t\) est un logarithme. Formules de Riccati pour les fonctions hyperboliques et obtention de l'équation de la chainette (méthode physique). |
| 07/09-11/09 | Théorème de Pappus (démonstration de Descartes) Somme des entiers, de leurs carrés etc. par la méthode des différences de Newton Formule d'Euler pour \(\sqrt2\) : approximation à partir de l'égalité \(\displaystyle\frac12=\frac{5^2}{7^2}\left(1-\frac1{50}\right)\) et développement de \((1-x)^{-1/2}\) Si \(f(x+y)=f(x)f(y)\), alors \(f(x)=f(1)^x\) pour \(x\) rationnel. Montrer \(\Delta^ny_0=\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}y_{n-k}\). |
| 02/09-04/09 | Résolution géométrique du théorème de Morley |