Je m'intéresse maintenant aux liens entre maths et société, à la compréhension du hasard et à sa modélisation. Je cherche des clefs pour les mieux partager, à l'école ou dans le domaine public.
Je m'intéressais auparavant principalement aux représentations des groupes réductifs (adèles, corps locaux, corps finis) et aux variétés de Shimura.
- Ma thèse comportait deux parties.
- La première est le fruit d'un travail sur des idées de R. P. Langlands sur les représentations unitaires des super-algèbres de Virasoro et de Neveu-Schwartz. Ces préoccupations sont d'origine physique (théorie des supercordes) mais sont traitées uniquement d'un point de vue théorie des représentations des (super-)algèbres de Lie réelles. Des conjectures importantes relient la théorie des champs conforme, la percolation, les auto-intersections du mouvement Brownien, les limites d'échelle et les représentations des algèbres de Lie.
- La seconde partie de ma thèse se plaçait dans le cadre des représentations automorphes et plus précisément celui de la formule des traces d'Arthur-Selberg. Il s'agissait de démontrer un analogue du fait bien connu suivant : les sommes de Riemann d'un fonction continue convergent vers son intégrale. La formulation se fait en termes de théorie de la mesure et on se place dans le dual d'un groupe réductif sur un corps local de caractéristique nulle. Ce genre de considérations trouve un attrait chez tous ceux qui essaient de comprendre les multiplicités des séries discrètes puisque mon travail en donnait le comportement asymptotique lorsque le sous-groupe (de congruence) tend vers 1.
- Depuis je me suis intéressé aux variétés de Shimura en donnant un comportement asymptotique du nombre de points d'une courbe de Shimura sur un corps fini en le reliant à son genre. Outre l'intérêt en soi de ce résultat, il intéresse également ceux qui travaillent sur la théorie des codes (correcteurs d'erreur). Ces travaux donnent un cadre naturel à des résultats de Serre et utilisent de façon centrale la formule des traces d'Arthur, notamment son comportement asymptotique. J'ai également introduit une notion de famille évanescente de compacts dont des exemples classiques sont les familles associées aux sous-groupes de congruence dont le niveau tend vers l'infini.
- Mon travail concernant la représentation de Steinberg des groupes réductifs sur un corps fini est également lié, d'un peu loin, aux variétés de Shimura puisqu'il permet d'établir des isogénies entre jacobiennes de certaines courbes de Shimura. Mes résultats permettent de généraliser une problématique énoncée par Chen puis Edixhoven pour GL(2) en la démontrant pour un groupe réductif fini quelconque. Comme la représentation de Steinberg apparaît, la notion de sous-groupe parabolique semble essentielle dans l'approche. Néanmoins il existe une notion plus générale, dans un groupe fini, celle de p'-sous-groupe, qui a permis de donner une démonstration purement groupe fini du résultat : la généralisation s'effectue donc dans deux directions, un groupe plus général et une méthode adaptée à des groupes finis plus généraux.
Je tiens à préciser que ce travail à donné lieu à une note aux CRAS qui est en fait une démonstration complète. Elle se base en effet sur un résultat ancien de Bhama Srinivasan (1971) dont le lien avec la problématique n'avait pas été dégagé. Mon premier travail fut de voir que le problème de Chen et Edixhoven pouvait se formuler en termes de représentation de Steinberg, puis de trouver un cadre général. C'est en cherchant à résoudre cette situation générale qu'est apparu qu'il suffisait de s'appuyer sur ce résultat ancien (mais qui semblait avoir disparu de la mémoire d'un certain nombre d'experts).