Géométrie | Mathom -- Mathématiques humaines

Géométrie I - Géométrie euclidienne
- Introduction historique (géométrie et analyse). Origines des fonctions de plusieurs variables, Grassmann (extensive grosse), Peano (complexes) et Hamilton (vecteurs). Notions de topologie : norme, convergence, limites, continuité pour les vecteurs, théorème de Bolzano-Weierstrass, fermés (Cantor, 1884), voisinages et ouverts (Weierstrass, Hausdorff 1914). Refonte de la géométrie par l'algèbre linéaire : programme d'Erlangen (Felix Klein), Hilbert. Normes sur $\mathbb R^n$ : définition et exemples, toutes les normes sont équivalentes.
- Espaces pré-hilbertiens réels. Formes bilinéaires, formes symétriques, définies, positives. Produit scalaire. Exemples : déterminant sur $\mathbb R^2$, ${}^tXAY$ sur $\mathbb R^n$ ou $M_{n,1}(\mathbb R)$, $\int_a^bf(t)g(t)dt$ sur $C^0([a;b],\mathbb R)$, $tr({}^tMN)$ sur $M_n(\mathbb R)$, $\sum a_kb_k$ sur $\mathbb R_n[X]$ pour $P=\sum a_kX^k$ et $Q=\sum b_kX^k$, $\sum P(x_k)Q(x_k)$ sur $\mathbb R_n[X]$ pour $(x_k)$ $n+1$ réels distincts. Espaces pré-hilbertiens, euclidiens. Orthogonalité, $u^\perp=\{v\in E\,,(u\mid v)=0\}$. Inégalité de Cauchy-Schwarz, exemples. Norme associée à un produit scalaire, égalités de polarisation, identité de la médiane.
- Orthogonalité. Théorème de Pythagore, distance. Hyperplan, théorème de représentation de Riesz. Orthogonalité entre vecteur et sous-espace vectoriel, entre deux sous-espaces vectoriels, notation $F^\perp$, critère d'orthogonalité sur les familles génératrices.
- Projection orthogonale : projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie ou son orthogonal, relation $p_F+p_{F^\perp}=Id_E$, inéquations $||p(x)||\le||x||$ et $||x-p(x)||\le||x-y||$, pour $y\in F$, et cas d'égalité. Exemples d'une droite ou d'un hyperplan.
- Symétrie orthogonale : symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace de dimension finie, relations $s_F=2p_F-Id_E=Id_E-2p_{F^\perp}$, $||s_F(x)||=||x||$, vecteurs symétriques par rapport à un sous-espace. Exemple d'une droite ou d'un hyperplan (réflexion). Pour $u$ et $v$ distincts, non nuls et de même norme, existence et unicité d'une réflexion échangeant $u$ et $v$.
- Bases orthonormées : toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre, existence d'une base orthogonale, procédé d'orthogonalisation (orthonormalisation) de Gram-Schmidt, complétion d'une base orthonormée. Relations $||x||=\sum(x\mid e_i)^2={}^tXX$ et $(x\mid y)=\sum(x\mid e_i)(y\mid e_i)={}^tXY$. Matrices de Gram et déterminants de Gram. Distance d'un point à un sous-espace : $d(x,F)^2=G(x,e_1,\cdots,e_p)/G(e_1,\cdots,e_p)$.
- Orientation : matrices orthogonales, groupe orthogonal et spécial orthogonal. $O_n(\mathbb R)$ et $SO_n(\mathbb R)$ sont des groupes. Orientation de l'espace.
Géométrie II - Endomorphismes orthogonaux
- Introduction historique : programme d'Erlangen, géométrie hyperbolique, espace-temps.
- Endomorphismes orthogonaux : définition, exemples. Groupes $O(E)$ et $SO(E)$. Adjoint d'un endomorphisme. Caractérisation des endomorphismes orthogonaux par $f\in GL(E)$ et $f^*=f^{-1}$. Endomorphismes symétriques ou auto-adjoints. Propriétés de l'adjonction : $(f^*)^*$, $(g\circ f)^*$, $(f+g)^*$, $(\lambda f)^*$. Espaces stables et adjonction. Matrice de l'adjoint. Caractérisation de $O(E)$, de $SO(E)$, des symétries orthogonales par les images des bases orthonormées. Déterminant d'une symétrie orthogonale. $O(E)$ est engendré par les réflexions et tout endomorphisme orthogonal est produit d'au plus $n$ réflexions.
- Isométries du plan : description matricielle de $O_2(\mathbb R)$ (et $SO_2(\mathbb R)$). Les endomorphismes orthogonaux indirects sont des symétries orthogonales : diagonalisation et vecteurs propres via $\det(\phi-\lambda Id_P)$ ou directement sur la matrice. $SO(P)$ est un groupe abélien, la matrice d'une rotation est $A$ ou ${}^tA$ selon qu'elle est écrite dans une base directe ou indirecte. Pour deux vecteurs non nuls de même norme, il existe une unique rotation qui envoie l'un sur l'autre. Écriture d'une rotation comme produit de deux symétries, $s\circ r\circ s=r^{-1}$ et $r^{-1}\circ s_D\circ r=s_{r^{-1}(D)}$.