Semaine 2

Semaine 2

  • (Abdelhaq Abdelqari - 2.1) - Soit $p$ un entier. Calculer $\arctan(p+1)-\arctan(p)$. Étudier la limite de la suite de terme général $\displaystyle\sum_{p=0}^n\arctan\frac1{p^2+p+1}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 2.2) - Soit $x$ et $y$ deux réels tels que $0\lt x\lt y$. Calculer $\arctan\frac{x}y+\arctan\frac{y-x}{y+x}$. Calculer $4\arctan\frac15$. En déduire la valeur de $4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239}$ (Formule de John Machin, 1706)
  • (Abdelhaq Abdelqari - 2.3) - Montrer $\forall(x,y)\in\Rd^2$, $\displaystyle 0\lt x\lt y\Leftrightarrow \frac{y-x}{\ln(y)-\ln(x)}\lt\frac{x+y}2$. En déduire, pour tout entier naturel non nul $n$, $\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{k}{\ln\left(1+\frac1k\right)}\lt\frac{n(n+1)(4n+5)}{12}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 2.4) - On pose $f(x)=\argch\left(\sqrt{\frac{\cosh(x)+1}2}\right)$. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ lorsque cela est possible. En déduire une expression simple de $f(x)$.
  • (Anthony Maxilaris - 2.1) - Calcul de \(\displaystyle\prod_{k=1}^n\cos\left(\frac{x}{2^k}\right)\) pour tout \(x\) de \(]0;\pi[\) et n entier naturel.
  • (Anthony Maxilaris - 2.2) - Résoudre dans \(\mathbf{R}\) l'équation \(\mathrm{Argth}(x)=\mathrm{Argch}\left(\frac1x\right)\)..
  • (Anthony Maxilaris - 2.3) - Calculer \(\displaystyle\mathrm{Arctan}\left(\frac{p}{p+1}\right)-\mathrm{Arctan}\left(\frac{p-1}p\right)\), pour p entier naturel non nul. En déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{p=1}^n\mathrm{Arctan}\left(\frac1{2p^2}\right)\).
  • (Antoine Pichoff - 2.1) - Valeur approchée de $\pi$ : formule de Snellius. On admet que la suite $(c_n)$ définie par $c_0=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\forall n\in\Nd$, $c_{n+1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2+2c_n}$ vérifie : pour tout $n\in\Nd$, on a $c_n=\cos\left(\dfrac{\pi}{6\times 2^n}\right)$. On admet également que $\sin\left(\dfrac{\pi}{6\times 2^n}\right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{2-2c_{n-1}}$ et $\tan\left(\dfrac{\pi}{6\times 2^n}\right)=\sqrt{\dfrac{1-c_{n-1}}{1+c_{n-1}}}$. (1.a) Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $[0,\pi]$ par $f(x)=x-\dfrac{3\sin x}{2+\cos x}$. (1.b) En déduire l'inégalité $\forall x\in [0,\pi], \dfrac{3\sin x}{2+\cos x}\leq x$ (2) Montrer que $\forall x\in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right[$, $x\leq\dfrac{2}{3}\sin x+\dfrac{1}{3}\tan x$ (3) Établir que pour tout $n\in\Nd$, $$\dfrac{18\times 2^n \sin\left(\dfrac{\pi}{6\times 2^n}\right)}{2+\cos\left(\dfrac{\pi}{6\times 2^n}\right)}\leq\pi\leq2^{n+1}\left(2\sin\left(\dfrac{\pi}{6\times 2^n}\right) +\tan\left(\dfrac{\pi}{6\times 2^n}\right)\right) (S_n)$$ (4) Expliciter $(S_n)$ en fonction $(c_{n-1})$ (5) Appliquer alors $(S_4)$ pour obtenir un encadrement numérique de $\pi$.
  • (Antoine Pichoff - 2.2) - Valeur approchée de $\pi$ : formule d'Archimède. On admet que la suite $(c_n)$ définie par $c_0=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\forall n\in\Nd$, $c_{n+1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2+2c_n}$ vérifie : pour tout $n\in\Nd$, on a $c_n=\cos\left(\dfrac{\pi}{6\times 2^n}\right)$. On admet également que $\sin\left(\dfrac{\pi}{6\times 2^n}\right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{2-2c_{n-1}}$ et $\tan\left(\dfrac{\pi}{6\times 2^n}\right)=\sqrt{\dfrac{1-c_{n-1}}{1+c_{n-1}}}$. (a) Établir que pour tout $x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right[$, $\sin x\leq x \leq \tan x$. (b) En déduire que pour tout $n\in\Nd$, $$6\times 2^n \sin\left(\dfrac{\pi}{6\times 2^n}\right)\leq\pi\leq6\times 2^n \tan\left(\dfrac{\pi}{6\times 2^n}\right) (A_n)$$ (c) Quelle interprétation géométrique peut-on donner de $(A_n)$, en considérant un cercle $\Gamma$ est deux polygones réguliers inscrits et circonscrits à $\Gamma$. (d) À l'aide de la remarque initiale, expliciter les inégalités $(A_n)$ en fonction de $c_{n-1}$. (e) Appliquer alors $(A_4)$ pour obtenir un encadrement numérique de $\pi$. (f) Les inégalités $(A_n)$ permettent-elles de calculer $\pi$ à une précision arbitraire ?
  • (Antoine Pichoff - 2.3.1) - On définit par récurrence la suite $(c_n)$ par $c_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\forall n\in\Nd$, $c_{n+1}=\frac12\sqrt{2+2c_n}$. (a) Exprimer $\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)$ en fonction de $\cos \theta$. (b) Montrer que pour tout $n\in\Nd$, on a $c_n=\cos\left(\frac{\pi}{6\times 2^n}\right)$. (c) Donner une valeur approchée de $\cos\left(\frac{\pi}{48}\right)$. (d) Montrer que $\sin\left(\frac{\pi}{6\times 2^n}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2-2c_{n-1}}$ et $\tan\left(\dfrac{\pi}{6\times 2^n}\right)=\sqrt{\dfrac{1-c_{n-1}}{1+c_{n-1}}}$.
  • (Antoine Pichoff - 2.3.2) - Soient $a,b\in\Rd$ ($b\neq 0$), calculer $\sum_{k=0}^n \cosh(a+kn)$.
  • (Antoine Pichoff - 2.4.1) - Étude et représentation graphique de $g:x\mapsto\left(\cosh(x)\right)^{1/x}$.
  • (Antoine Pichoff - 2.4.2) - Résoudre $\ln|x+1|-\ln|2x+1|\leq\ln 2$.
  • (Antoine Pichoff - 2.5.1) - Résoudre $\arctan x+\arctan 2x=\dfrac{\pi}{4}$.
  • (Antoine Pichoff - 2.5.2) - (a) Rappeler la définition de $\exp$. (b) Montrer que $\forall x\in]-1,1[$, $\forall n\in\Nd$ : $1+x\leq \left(1+\frac{x}n\right)^n\leq\frac1{1-x}.$ (c) En déduire que $\exp$ est dérivable en $0$. (d) Montrer que $\exp$ est dérivable sur $\Rd$.
  • (Antoine Pichoff - 2.6.1) - Étude et représentation graphique de $f:x\mapsto \arcsin\left(\tanh(x)\right)$.
  • (Antoine Pichoff - 2.6.2) - Pour $a\in\Rd^*_+$ et $a\neq 1$, résoudre l'inéquation $\ln_a(x)<\ln_{a^3}(3x-2)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 2.1) - Soit $(a,b)\in\Rd^2$ et $1\lt a\leq b$. Montrer $b^{a-1}\leq a^{b-1}$.
  • (Bertrand des Abbayes - 2.2) - Soit $a\in\Rd^*_+$. Étudier le signe de $x\mapsto \frac{2x+a}3-a^{1/3}x^{2/3}$.
  • (Bertrand des Abbayes - 2.3) - Étudier $x\ln(x)+(1-x)\ln(1-x)$. En déduire $\forall x\in]0;1[$, $x^x(1-x)^{1-x}\geq\frac12$.
  • (Didier Robbes - 2.1) - Résoudre sur $\Rd$, $\displaystyle\frac{\cosh(x)-2}{\cosh(x)+4}\lt\frac{\cosh(x)-3}{\cosh(x)+2}$.
  • (Didier Robbes - 2.2) - Calculer $\arctan(2)+\arctan(5)+\arctan(8)$, puis résoudre $\arctan(x-3)+\arctan(x)+\arctan(x+3)=\frac{5\pi}4$.
  • (Didier Robbes - 2.3) - Étudier $f(x)=e^{x+2}/(x+2)^2$.
  • (Françoise Gillardeau - 2.1) - Démontrer que, pour $x$ non nul, $\tanh(x)=\frac2{\tanh(2x)}-\frac1{\tanh(x)}$. En déduire, pour $n$ non nul, $\sum_{p=0}^{n-1}2^p\tanh(2^px)$.
  • (Françoise Gillardeau - 2.2) - Calculer $\sum_{k=0}^n{n\choose k}\cos(x+ky)$.
  • (Françoise Gillardeau - 2.3) - Calculer $\sum_{k=0}^n\sinh(a+kb)$.
  • (François Sauvageot - 2.1) - Simplifier $\displaystyle\prod_{k=1}^n\cosh\left(\frac{x}{2^k}\right)$.
  • (François Sauvageot - 2.2) - Comportement en $+\infty$ de $e^x(cosh^3(x)-\sinh^3(x))$.
  • (François Sauvageot - 2.3) - Résoudre en $t$, $\left(a^b\right)^t=a^{b^t}$.
  • (François Sauvageot - 2.4) - Si $x=\ln\left(\tan\left(\frac{y}2+\frac{\pi}4\right)\right)$, que valent $\cosh(x)$, $\sinh(x)$ et $\tanh(x)$ ?
  • (François Sauvageot - 2.5) - Résoudre, pour $a$ et $b$ réels, $$\left\{\begin{array}{l}\cosh(x)+\cosh(y)=a\\ \sinh(x)+\sinh(y)=b\end{array}\right.$$
  • (François Sauvageot - 2.6) - Simplifier $\arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)$.
  • (Jacques Paris - 2.1) - Montrer $\tanh(2x)=2\tanh(x)/(1+\tanh^2(x))$ et, pour $x$ non nul, $\tanh(x)=\frac2{\tanh(2x)}-\frac1{\tanh(x)}$. En déduire, pour $n$ non nul, $\sum_{p=0}^{n-1}2^p\tanh(2^px)$.
  • (Jacques Paris - 2.2) - Calcul de $\cos(\pi/8)$ en remarquant $\pi/8=\frac12\pi/4$.
  • (Jacques Paris - 2.3) - Soit $y$ dans $]-\pi/2;\pi/2[$ et $\displaystyle x=\ln\left(\tan\left(\frac{y}2+\frac{\pi}4\right)\right)$. Montrer $\tanh(x/2)=\tan(y/2)$.
  • (Jean-Louis Liters 2.1) - Étudier $\displaystyle x\mapsto\left(\sqrt{1-\sin(2x)}+\sqrt{1+\sin(2x)}\right)^{\frac1{\ln(2\cos(x))}}$.
  • (Jean-Louis Liters 2.2) - Calculer $\displaystyle C(a)=\sum_{p=0}^n(-1)^p{n\choose p}\frac{\cosh(pa)}{\left(\cosh(a)\right)^p}$.
  • (Jean-Louis Liters 2.3) - Résoudre, pour $(a,b)$ dans $\Rd^*_+\times\Rd$, $$\left\{\begin{array}{l}\cosh(x)+\cosh(y)=a\cosh(b)\\ \sinh(x)+\sinh(y)=a\sinh(b)\end{array}\right.$$
  • (Mohammed Laadnani - 2.1) - Simplifier $\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac1{\cosh((k+1)x)+\cosh(kx)}$.
  • (Mohammed Laadnani - 2.2) - Transformer $\displaystyle\frac{\cos(p)-\cos(q)}{\sin(p)+\sin(q)}$ et calculer $\tan(\pi/24)$.
  • (Mohammed Laadnani - 2.3) - Montrer $\displaystyle\sin(x)+\sin(2x)+\cdots+\sin(nx)=\sin\left(\frac{(n+1)x}2\right)\frac{\sin\left(\frac{nx}2\right)}{\sin\left(\frac{x}2\right)}$.
  • (Philippe Skler 2.1) - idem (Jean-Louis Liters 2.3)
  • (Philippe Skler 2.2) - Montrer que \(\forall x \in ]0,1[ \) on a \(x^{x} (1-x)^{1-x}\geq \frac{1}{2}\).
  • (Philippe Skler 2.3.1) - Expression de \(\cosh(4x) \) en fonction de \(\cosh^{k}(x)\).
  • (Philippe Skler 2.3.2) - Résolution de \(\log_{x}(10)+2\log_{10x}(10)+3\log_{100x}(10)=0\).
  • (Véronique Bluteau - 2.1.1) - Étudier les composées $g\circ f$ pour $f$ parmi les fonctions hyperboliques réciproques et $g$ parmi les fonctions hyperboliques.
  • (Véronique Bluteau - 2.1.2) - Calculer $\sum_{k=0}^n\sinh(ka)$.