Semaine 6

Semaine 6

  • (Abdelhaq Abdelqari - 6.1) - Former les équations cartésiennes des sphères contenant le cercle $C$ : $z=x^{2}+y^{2}-2y-1=0$ et tangentes à la droite $D$ $x-(z+4)=y-(2z+3)=0$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 6.2) - Équations cartésiennes des plans bissecteurs de deux plans. Soient $P_{1}$ : $x+y+2z-3=0$ et $P_{2}$ : $x-y-z-1=0 $. Former les équations cartésiennes des plans $ \Pi_{1} $ et $ \Pi_{2} $ bissecteurs de $P_{1} $ et $P_{2}$. Déterminer le point appartenant à $ P_{1}\cap P_{2} $ d'abscisse 3. Déterminer l'angle entre les deux plans $ P_{1}$ et $P_{2}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 6.3) - Former une équation cartésienne de la sphère tangente en $A(1,2, 1)$ à $D$ : $x+y-2z-1=2x-y-3z+3=0$ et tangente en $A' (1,-1, -2)$ à $D'$ : $2x+y+2z+3=x-y-z-4=0$.
  • (Anthony Maxilaris - 6.1) - Soit $P$ : $x+y+z=3$ et $P'$ : $x-3y+2z=3$. Que vaut $d(O;P)$ ? $d(O;P')$ ? Montrer que $P\cap P'$ est une droite $D$. Déduire des calculs précédents $d(O;D)$ puis le retrouver par un calcul direct.
  • (Anthony Maxilaris - 6.2) - Équations cartésiennes des plans $P$ contenant $D$ : $x-3z-2=y+5z-1=0$ et situés à la distance 1 du point $A(1;-1;0)$.
  • (Anthony Maxilaris - 6.3) - Notion de perpendiculaire commune et de distance entre deux droites. Formule $d(D,D')=|[\vec{AA'},\vec{u},\vec{u'}]|/||\vec{u}\wedge\vec{u'}||$.
  • (Antoine Pichoff - 6.1) - Soient $A$, $B$, $C$, $A^\prime$, $B^\prime$, $C^\prime$ six points et $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\alpha^\prime$, $\beta^\prime$, $\gamma^\prime$ six nombres. Déterminer l'ensemble des points $M$ tel que : les vecteurs $\alpha\stackrel{\rightarrow}{MA}+\beta\stackrel{\rightarrow}{MB}+\gamma\stackrel{\rightarrow}{MC}$ et $\alpha^\prime\stackrel{\rightarrow}{MA^\prime}+\beta^\prime\stackrel{\rightarrow}{MB^\prime}+\gamma^\prime\stackrel{\rightarrow}{MC^\prime}$ soient orthogonaux. On pourra différencier les cas selon la valeur de $\alpha+\beta+\gamma$.
  • (Antoine Pichoff - 6.2) - Soit $ABCD$ un tétraèdre formé de points non coplanaires. Un plan ${\cal P}$ coupe les segments $[AC]$, $[BC]$, $[BD]$ et $[AD]$ en respectivement $E$, $F$, $G$ et $H$. On suppose que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles à ${\cal P}$. Montrer que $EFGH$ est un parallélogramme.
  • (Antoine Pichoff - 6.3) - On considère une pyramide $OABC$ formée de quatre triangles dont trois sont rectangles en $O$. On note $a=OA$, $b=OB$, $c=OC$ et $\alpha=BC$, $\beta=CA$ et $\gamma=AB$. Démontrer à l'aide des produits scalaire et vectoriel des vecteurs $\stackrel{\rightarrow}{AB}$ et $\stackrel{\rightarrow}{AC}$ que l'aire $S$ du triangle $ABC$ vérifie les égalités : $16S^2=(\alpha+\beta+\gamma)(-\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\beta+\gamma)(\alpha+\beta-\gamma)=2(\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2+\alpha^2\beta^2)-\alpha^4-\beta^4-\gamma^4$. Calculer $S$ en fonction de $a$, $b$, $c$ et trouver ainsi l'égalité : $S^2=S^2_{OBC}+S^2_{OCA}+S^2_{OAB}$.
  • (Antoine Pichoff - 6.4) - On souhaite étudier les rotations sur $\Rd^3$, en particulier leur composition. Nous savons que sur $\Rd^2$ existe toute une arithmétique : les nombres complexes. Est-il possible de développer un outil semblable sur $\Rd^3$ ? Supposons que l'on puisse écrire toute vecteur $q$ de $\Rd^3$ sous la forme unique $a+bi+cj$ où $a$, $b$, $c\in\Rd$ et $i^2=j^2=-1$. Montrer en examinant le produit $ij$ (et $(ij)j$) que l'on aboutit à une absurdité. Finalement, nous définissons $H=\{a+bi+cj+dk$ tels que $i^2=j^2=k^2=-1$, $ij=-ji=k$, $ki=-ik=j$, $jk=-kj=i\}$, appelé ensemble des quaternions. Montrer que si, pour tout $p\in H$, $\lambda p= p\lambda$, alors $\lambda\in\Rd$. Montrer que tout quaternion non nul est inversible et donner son inverse $q^{-1}$. Montrer que pour tout $q$, $p\in H$, $(qp)^{-1}=p^{-1}q^{-1}$. En définissant sur $H$, la conjugaison comme sur $\Cd$, montrer que l'on a : $\overline{p+q}=\overline{p}+\overline{q}$, $\overline{\overline{q}}=q$, $q\overline{q}=|q|^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)$, $\overline{p\times q}=\overline{q}\times \overline{p}$, $\overline{\left(\frac{p}{q}\right)}=\frac{\overline{p}}{\overline{q}}$. En déduire $|pq|=|p|\times |q|$. Que dire de $q+\overline{q}$ ? Que dire de $q$ si $q=\overline{q}$ ? Montrer que si $p$ est de partie réelle nulle et de module égal à $1$ alors $p^2=-1$. On considère pour $q$ de module égal à $1$, l'application $S_q$ : $p\mapsto qpq^{-1}=qp\overline{q}$. Montrer que pour $p$, $p^\prime\in H$, $\lambda\in\Rd$, $S_q(p+p^\prime)=S_q(p)+S_q(p^\prime)$ et $S_q(\lambda p)=\lambda S_q(p)$. Montrer que pour tout $p\in H$, $\big|S_q(p)\big|=|p|$. Montrer que l'ensemble des quaternions réels et l'ensemble des quaternions de partie réelle nulle sont stables par $S_q$. Montrer que si $q$ et $q^\prime$ sont de module $1$, alors $S_q\circ S_{q^\prime}=S_{qq^\prime}$. Montrer que si $q=xi+yj+zk$, alors $S_q$ est le demi-tour d'axe $(x,y,z)$ (rotation d'angle $\pi$). Supposons que $q=a+ib+cj+dk=a+r$. Montrer que l'axe de $S_q$ est $r$. Montrer que $q\overline{q}=a^2+\alpha^2$ et que $S_q$ est la rotation d'angle $\theta$ tel que $\cos (\theta/2)=a$ et $\sin(\theta/2)=\alpha$ et d'axe $r$.
  • (Antoine Pichoff - 6.5) - On note $S^2=\{\vec{x}\in\Rd^3$ tels que $||\vec{x}||=1\}$. Soit $\vec{u}\in S^2$. On note $s_{\vec{u}}$ : $S^2\rightarrow S^2$ avec $s_{\vec{u}}(\vec{x})=\vec{x}-2(\vec{x}\cdot \vec{u})\vec{u}$. Pourquoi parle-t-on de réflexion à propos de cette transformation ? Montrer que $s_{\vec{u}}$ est bijective. Montrer que $s_{\vec{u}}$ conserve les angles, i.e. : $\forall x,y\in S^2$, $\big(s_{\vec{u}}(\vec{x})\cdot s_{\vec{u}}(\vec{y})\big)=\big(\vec{x}\cdot\vec{y}\big)$. Montrer que $s_{\vec{u}}(S^2)=S^2$. Définir alors des notions naturelles de "réflexion", "rotation", et "symétrie centrale" de la sphère $S^2$ (en oubliant celles de $\Rd^3$, donc). Étudions la métrique de $S^2$. Soient $\vec{x}$, $\vec{y}\in S^2$. Montrer que $|(\vec{x}\cdot\vec{y})|\leqslant 1$. Montrer qu'on définit un unique réel noté $d(\vec{x},\vec{y})$ en imposant les conditions : $d(\vec{x},\vec{y})\in[0,\pi]$ et $\cos\big(d(\vec{x},\vec{y})\big)=\big(\vec{x}\cdot\vec{y}\big)$. Quelle interprétation donnez-vous à $d$ ? Vérifier que pour $\vec{x}$, $\vec{y}\in S^2$, on a $d(\vec{x},\vec{y})=0\Leftrightarrow \vec{x}=\vec{y}$ et $d(\vec{x},\vec{y})=d(\vec{y},\vec{x})$. On considère trois vecteurs $\vec{x},\vec{y},\vec{z}$ non coplanaires de $S^2$. On définit $\vec{Y_1}=(\vec{x}\wedge{y})\wedge\vec{x}$ et $\vec{Y}=\frac{\vec{Y_1}}{||\vec{Y_1}||}$, de même pour $\vec{Z_1}$ et $\vec{Z}$ et enfin $\alpha=\arccos(\vec{Y}\cdot\vec{Z})$. Enfin, on note $c=d(\vec{x},\vec{y})$, $a=d(\vec{y},\vec{z})$ et $b=d(\vec{x},\vec{z})$. Représenter graphiquement ces vecteurs. Établir que $y=\cos(c)\vec{x}+\sin(c)\vec{Y}$ et $z=\cos(b)\vec{x}+\sin(b)\vec{Z}$
  • (Antoine Pichoff - 6.6) - On note $S^2=\{\vec{x}\in\Rd^3$ tels que $||\vec{x}||=1\}$ et l'on considère les déterminants : $G(\vec{x},\vec{y})=\left|\begin{array}{cc} \vec{x}\cdot\vec{x} & \vec{x}\cdot\vec{y} \\ \vec{y}\cdot\vec{x} & \vec{y}\cdot\vec{y}\end{array}\right|$ et $G(\vec{x},\vec{y},\vec{z})=\left|\begin{array}{ccc} \vec{x}\cdot\vec{x} & \vec{x}\cdot\vec{y} &\vec{x}\cdot\vec{z}\\ \vec{y}\cdot\vec{x} & \vec{y}\cdot\vec{y} & \vec{y}\cdot\vec{z}\\ \vec{z}\cdot\vec{x}&\vec{z}\cdot\vec{y}&\vec{z}\cdot\vec{z}\end{array}\right|$. Montrer que $G(\vec{x},\vec{y})=||\vec{x}\wedge\vec{y}||^2$. Interpréter ce nombre. On note $\vec{Z}$, le projeté orthogonal de $\vec{z}$ sur $\Rd\vec{x}+\Rd\vec{y}$, le plan (ou la droite) contenant $\vec{x}$ et $\vec{y}$. On écrit alors $\vec{Z}=a\vec{x}+b\vec{y}$. Montrer que $G(\vec{x},\vec{y},\vec{z})=\left|\begin{array}{ccc} \vec{x}\cdot\vec{x} & \vec{x}\cdot\vec{y} &\vec{x}\cdot(\vec{z}-\vec{Z})\\ \vec{y}\cdot\vec{x} & \vec{y}\cdot\vec{y} & \vec{y}\cdot(\vec{z}-\vec{Z})\\ \vec{z}\cdot\vec{x}&\vec{z}\cdot\vec{y}&(\vec{z}-\vec{Z})\cdot(\vec{z}-\vec{Z})\end{array}\right|$. En déduire que $G(\vec{x},\vec{y},\vec{z})=||\vec{z}-\vec{Z}||^2G(\vec{x},\vec{y})=\left(\det(\vec{x},\vec{y},\vec{z})\right)^2$. Interpréter $G(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$. En déduire que $G(\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ est un réel positif si et seulement si les vecteurs $\vec{x}$, $\vec{y}$ et $\vec{z}$ sont coplanaires. Soit $a,b,c\in\Rd$, on considère $G_e=\left|\begin{array}{ccc}1&\cos b&\cos c\\ \cos b & 1 &\cos a\\ \cos c&\cos a&1\end{array}\right|$ et l'on pose $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$. Montrer que $G_e=(1-\cos^2b)(1-\cos^2c)-(\cos a-\cos b\cos c)^2=4\sin p\sin(p-a)\sin(p-b)\sin(p-c)$. On considère $\vec{x}$, $\vec{y}$ et $\vec{z}\in S^2$ , non coplanaires. On note $a=d_{S}(\vec{y},\vec{z})=\arccos(\vec{y}\cdot\vec{z})$ et de même : $b$ et $c$. Interpréter ces nombres. Montrer que $0\lt p\lt\pi$. Montrer l'inégalité triangulaire : $a
  • (Bertrand des Abbayes - 6.1) - Projection orthogonale de $D$ : $x+y+z-1=x-y-2z=0$ sur $P$ : $x+2y+3z+6=0$.
  • (Bertrand des Abbayes - 6.2) - Distance de $O$ au plan passant par $A(2;1;0)$, $B(1;3;0)$ et $C(1;1;4)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 6.3) - Soit un cube de faces $(ABCD)$, $(EFGH)$ et $(ABFE)$ et $I$ défini par $\vec{GI}=2/3\vec{GH}$. Calculer $d(I,(AC)$ et $d(F,(ACI))$.
  • (Didier Robbes - 6.1) - Soit $a$, $b$, $c$ trois vecteurs indépendants de l'espace, résoudre dans $E^3$ : $y\wedge z=a$, $z\wedge x=b$ et $x\wedge y=c$.
  • (Didier Robbes - 6.2) - Soit $D_1$ : $x-z+1=y-2z-1=0$ et $D_2$ : $3x-y=z-1=0$. Montrer qu'il existe un unique couple de plans parallèles contenant respectivement chacune des droites. Le déterminer.
  • (Didier Robbes - 6.3) - Pour $a$ et $b$ donnés dans $\Rd^3$, chercher les $x$ de $\Rd^3$ tels que $x+a\wedge x=b$.
  • (Françoise Gillardeau - 6.1) - Soit $A(4;9;4)$ et $B(13;-3;7)$. La droite $(AB)$ rencontre-t-elle l'ensemble $E$ défini par $(x-5)/5=(y+4)/9=(z-1)/4$ ? Quelle est la nature de $E$ ?
  • (Françoise Gillardeau - 6.2) - Soit $D_1$ : $(x,y,z)=(1+2t,1-t,3t)$ et $D_2$ : $x-y=x+y+z=0$. Donner une équation du plan contenant $D_1$ et parallèle à $D_2$ et du plan contenant $D_2$ et parallèle $ $D_1$.
  • (Françoise Gillardeau - 6.3) - Soit $M(1;1;a)$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que les symétriques de $M$ par rapport aux plans $x+y=1$, $y+z=1$, $z+x=1$ et $x+3y+z=0$ soient coplanaires.
  • (François Sauvageot - 6.1.1) - Distance de $A(1;0;-2)$ au plan $(x,y,z)=(1+t+u;-1+t-u;1+2t+3u)$.
  • (François Sauvageot - 6.1.2) - Soit $(ABC)$ un triangle dans l'espace et $O$ n'appartenant pas au plan $(ABC)$. Soit $P$, $Q$, $R$ les points d'intersection des plans perpendiculaires à $(OA)$ (respectivement $(OB)$, $(OC)$) avec la droite $(BC)$ (respectivement $(AC)$, $(AB)$). Montrer que ces trois points sont alignés.
  • (François Sauvageot - 6.2) - Soit $u$, $v$, $w$ trois vecteurs unitaires non coplanaires. On munit $Vect(u,v)$ d'une B.O.N. $(u,x)$ et $Vect(u,w)$ d'une B.O.N. $(u,y)$. Montrer $\cos\widehat{(v,w)}=\cos\widehat{(u,v)}\cos\widehat{(u,w)}+\sin\widehat{(u,v)}\sin\widehat{(u,w)}\cos\widehat{(x,y)}$. En déduire $\widehat{(v,w)}\lt\widehat{(u,v)}+\widehat{(v,w)}$.
  • (François Sauvageot - 6.3) - Montrer $u\wedge(v\wedge w)=(u.w)v-(u.v)w$ et en déduire $u\wedge(v\wedge w)+v\wedge(w\wedge u)+w\wedge(u\wedge v)=\vec{0}$. Montrer $[u,v,w]=0\Leftrightarrow (u\wedge v)\wedge(u\wedge w)=\vec{0}$ et $\displaystyle (u\wedge v).(w\wedge x)=\left|\begin{array}{cc}u.w&v.w\\ u.x& v.x\end{array}\right|$.
  • (Jacques Paris - 6.1) - Déterminer une équation du plan parralèle à $(Ox)$ et passant par les points $A(0;1;2)$ et $B(2;-1;0)$.
  • (Jacques Paris - 6.2.1) - Les droites D : $x-2z-1=y-z+1=0$ et $x-z-2=y-3z+3=0$ sont-elles coplanaires ? Déterminer une équation cartésienne du plan qu'elles définissent.
  • (Jacques Paris - 6.2.2) - Soit $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ et $\vec{d}$ quatre vecteurs de l'espace, déterminer $det(\vec{a}\wedge\vec{b},\vec{a}\wedge\vec{c},\vec{a}\wedge\vec{d})$.
  • (Jacques Paris - 6.3) - Soit $A(1;2;3)$, $B(2;3;1)$, $C(3;1;2)$ et $D(1;0;-1)$. Déterminer le centre et le rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre $(ABCD)$, ainsi qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
  • (Jean-Louis Liters - 6.1) - Montrer que tous les angles d'un tétraèdre isocèle sont aigus. On pourra commencer par démontrer $(\vec{AB}+\vec{AC}).\vec{AD}=||\vec{AD}||^2$.
  • (Jean-Louis Liters - 6.2) - Distance de l'origine au projeté orthogonal de $\frac{x+1}3=\frac{y}4=\frac{z-3}2$ sur $2x-y+4z+1=0$.
  • (Jean-Louis Liters - 6.3) - Pour $A$, $B$, $C$, $D$ fixés, déterminer les lignes de niveau de $(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}).(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC})$.
  • (Jean-Michel Rey - 6.1) - Condition nécessaire et suffisante pour que $x-z-a=y+3z+1=0$ et $x+2y+z-2b=3x+3y+2z-7=0$ soient concourantes, plan qu'elles définissent.
  • (Jean-Michel Rey - 6.2) - Soit $A$, $B$, $C$, $D$ des points distincts tels que $(AB)\cap(CD)=\{O\}$. Déterminer les points $M$ tels que $\vec{MA}\wedge\vec{MB}=\vec{MC}\wedge\vec{MD}$.
  • (Jean-Michel Rey - 6.3) - Pour $a$ et $b$ fixés, résoudre $a\wedge u=b$.
  • (Mohammed Laadnani - 6.1) - On donne les droites $D$ : $x-y=z=1$ et $D'$ : $x-1=y-z=0$. Montrer que $D$ et $D'$ ne sont pas coplanaires et donner une équation de leur perpendiculaire commune.
  • (Mohammed Laadnani - 6.2) - On suppose l'espace muni d'un repère orthonormé direct. Soit la droite $D$ : $x+y+z-1=x-2y-z=0$ et le plan $P$ : $x+3y+2z=6$. Déterminer la projection orthogonale de $D$ sur le plan $P$.
  • (Mohammed Laadnani - 6.3) - Étant donnés un vecteur $\vec{a}\neq \vec{0}$ et un vecteur $\vec{b}$, résoudre l'équation: $\vec{a}\wedge\vec{x}=\vec{b}$.
  • (Mohammed Laadnani - 6.4) - Soit $A$, $B$, $C$, $D$ quatre points non coplanaires de l'espace. Déterminer l'ensemble des points $M$ vérifiant $(\vec{MA}\wedge\vec{MB})\wedge(\vec{MC}\wedge\vec{MD})=\vec0$.
  • (Philippe Skler 6.1.1) - Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points non coplanaires. Déterminer $\left\{ M\in E\quad /\quad \left( \overrightarrow{MA}\wedge \overrightarrow{MB}\right) \wedge \left( \overrightarrow{MC}\wedge \overrightarrow{MD}\right) =\overrightarrow{0}\right\}$.
  • (Philippe Skler 6.1.2) - Soient $A$, $B$ et $C$ trois points de l'espace, $I$, $J$, $K$ les milieux respectifs de $[B,C]$, $[C,A]$ et $[A,B]$. Montrer que, pour tout point $M$ de l'espace $[\overrightarrow{MI},\overrightarrow{MJ},\overrightarrow{MK}]=[\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ},\overrightarrow{MA}]$.
  • (Philippe Skler 6.2.1) - Donner une équation cartésienne du plan $P$ perpendiculaire au plan défini par l'équation $x-y+z+24=0$, et contenant la droite définie par le système d'équations : $2x-y+2z+4=x-y-z+1=0$.
  • (Philippe Skler 6.2.2) - Soient $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ cinq points de l'espace et $k\in\Rd$. Déterminer le lieu des points $M$ de l'espace tels que $||\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+k\overrightarrow{MC}||=\left\Vert \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}\right\Vert $.
  • (Philippe Skler 6.3) - Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points non coplanaires, Soient $I$, $J$, $K$, $L$ les projections orthogonales respectives de $A$, $B$, $C$, $D$ sur les plans $(BCD)$, $(ACD)$, $(ABD)$, $(ABC)$. Montrer que les droites $(AI)$, $(BJ)$, $(CK)$ et $(DL)$ sont concourantes si et seulement si $(AB)\perp(CD)$ et $(AC)\perp(BD)$ et $(AD)\perp(BC)$
  • (Véronique Bluteau - 6.1) - Déterminer la perpendiculaire commune à la droite passant par $A(2;3;-1)$ et dirigée par $\vec{v}(-1;6;2)$ et à celle passant par $A'(1;1;-2)$ et dirigée par $\vec{v}'(2;1;-4)$.
  • (Véronique Bluteau - 6.2) - Soit $A$ un point de l'espace n'appartenant pas à l'axe $(Oz)$. Pour $h$ et $m$ deux réels strictement positifs, soit $D_1$, $D_2$, $D_3$ et $D_4$ les droites d'équations respectives $y-mx=z-h=0$, $y-mx=z+h=0$, $y+mx=z-h=0$, $y+mx=z+h=0$. Montrer que les symétriques de $A$ par rapport à ces quatre droites sont coplanaires et former une équation cartésienne de leur plan.
  • (Véronique Bluteau - 6.3) - Former les équations cartésiennes des plans contenant la droite $x-3z-2=y+5z-1=0$ et à distance 1 de $A(1;-1;0)$.