Semaine 5

Semaine 5

  • (Abdelhaq Abdelqari - 5.1) - Soient $(ABC)$ un triangle du plan affine. On construit le carré indirect $(ABDE)$ et le carré direct $(ACFG)$. On note $M$ le milieu de $[BC]$. Montrer : $(AM)$ est perpendiculaire à $(EG)$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 5.2) - Soit $(ABC)$ un triangle tel que $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$, $p=\frac{a+b+c}{2}$. Montrer : $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\widehat{A}$ (Formule d'Al Kashi). En déduire $\sin \widehat{A}$ en fonction de a,b,c. Établir: $\frac{a}{\sin \widehat{A}} = \frac{b}{\sin \widehat{B}} = \frac{c}{\sin \widehat{C}}$ (Loi des sinus). Montrer la formule de Héron, donnant l'aire $S$ de $(ABC)$ : $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 5.3.1) - On suppose le plan muni d'un repère orthonormé. Former les équations cartésiennes des bissectrices des droites : ${\mathcal{D}}_1$ : $4x-3y+3=0$ et ${\mathcal{D}}_2$ : $-12x+5y+4=0$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 5.3.2) - Soient $C$ et $C'$ deux cercles du plan extérieur l'un à l' autre, $O$ , $O'$ leurs centres respectifs, et $R$, $R'$ leurs rayons respectifs. Les tangentes menées de $O$ à $C'$ coupent $C$ en deux points $A$, $B$ et les tangentes menées de $O'$ à $C$ coupent $C'$ en deux points $A'$, $B'$. Démontrer $AB=A'B'$.
  • (Anthony Maxilaris - 5.1.2) - Soit $A(2;1)$, $B(-1;2)$ et $M(3;4)$. Calculer $d(M,(AB))$ et l'équation de la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $M$.
  • (Anthony Maxilaris - 5.1.2) - Puissance d'un point par rapport à un cercle, axe radical de deux cercles et puissance.
  • (Anthony Maxilaris - 5.2.2) - Soit $A$ et $B$ deux points du plan et $\vec{u}$ un vecteur non nul. Quel est le lieu des points $M$ tels que $\vec{u}.\vec{AM}+\vec{u}.\vec{BM}=0$ ? et celui des points $M$ tels que $det(\vec{u},\vec{AM})+det(\vec{u},\vec{BM})=0$ ?
  • (Anthony Maxilaris - 5.2.1) - Faisceau de cercles orthogonaux, équations cartésiennes de cercles, ligne de niveau $MA/MB=\lambda$.
  • (Anthony Maxilaris - 5.3) - Coordonnées du projeté orthogonal de $M(a;b)$ sur $D$ : $x-2y-1=0$.
  • (Antoine Pichoff - 5.1) - Soit $u\in\Cd\backslash\{i\}$. Établir l'équivalence : $\left|\frac{i+u}{i-u}\right|=1\Longleftrightarrow u\in\Rd$. On considère $f$ : $\Rd\longrightarrow\Cd$ avec $f(x)=\frac{1-ix}{1+ix}$. Montrer que $f(\Rd)=\Ud\backslash\{-1\}$, que $f$ est bijective de $\Rd$ sur $f(\Rd)$ et donner la bijection réciproque $f^{-1}$. Comment représenter $f$ ? Quel rapport avec la paramétrisation du cercle ?
  • (Antoine Pichoff - 5.2) - Soit $z\in i\Rd$ et $D_z$, la droite joignant $1$ et $z$. On note $z^\prime$, le point d'intersection de $D_z$ avec le cercle unité $\Ud\backslash\{1\}$. Exprimer $z^\prime$ en fonction de $z$. En déduire l'existence d'une inversion $I$, de pôle $\omega$ et de rapport $r$ (à préciser) vérifiant : $\forall z\in i\Rd$, $z^\prime=I(z)$. (On appelle inversion de centre $\omega$ et de rapport $r$, la transformation $z\mapsto\frac{r^2}{\overline{z-\omega}}+\omega$.) Interpréter géométriquement ce résultat. Préciser $\{z\in \Cd$ tels que $I(z)=z\}$. Reconnaitre l'image par $I$ de $\{z\in \Cd$ tels que $Re(z)\geq0\}$.
  • (Antoine Pichoff - 5.3) - Soit $(A,B,C)$ un triangle de $E$. On note $\overline{A}=(\vec{AB},\vec{AC})$ (mesure de l'angle orienté) et $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$. Montrer que $\det(\vec{AB},\vec{AC})=\det(\vec{BC},\vec{BA})=\det(\vec{CA},\vec{CB})$. On note $p$, $R$, $r$, $S$ respectivement le demi-périmètre $\frac{a+b+c}{2}$, le rayon du cercle circonscrit, le rayon du cercle inscrit et l'aire du triangle $ABC$. Etablir les relations suivantes : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\overline{A})$, $\frac{a}{\sin(\overline{A})}=\frac{b}{\sin(\overline{B})}=\frac{c}{\sin(\overline{C})}=2R$, $S=\frac{1}{2}bc\sin(\overline{A})=\frac{abc}{4R}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=rp$.
  • (Antoine Pichoff - 5.4) - On considère la transformation du plan représentée par $f$ : $z\mapsto a\overline{z}+b$, avec $a\in\Cd^*$ et $b\in\Cd$. Montrer que c'est la composée d'une similitude directe et d'une symétrie axiale (c'est une similitude indirecte). Montrer que si $f$ représente une symétrie axiale, on a $|a|=1$ et $a\overline{b}+b=0$. Trouver alors en fonction de $b$ un point de l'axe de symétrie. Réciproquement, si $a=e^{i\theta}$ et $a\overline{b}+b=0$, montrer que pour tout $z\in\Cd$, le complexe $u=e^{-i\theta/2}(f(z)+z-b)$ est réel et $v=e^{-i\theta/2}(f(z)-z)$ est imaginaire pur. En déduire que $f$ représente une symétrie orthogonale par rapport à une droite que l'on précisera. Montrer que si $|a|=1$, on a $f=s\circ t=t\circ s$ où $s$ représente une symétrie d'axe $D$ et $t$ une translation de vecteur dans la direction de $D$. Vérifier l'unicité de $(s,t)$.
  • (Antoine Pichoff - 5.5) - Soit $ABC$ un triangle du plan $E$. On dit que $(\alpha,\beta,\gamma)\in\Rd^3$ est un triplet de coordonnées barycentriques d'un point $M$ de $E$ relativement à $(A,B,C)$ lorsque $\alpha+\beta+\gamma\neq0$, $M$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ et $(C,\gamma)$. Montrer que tout point $M$ possède un et un seul triplet de coordonnées barycentriques $(\alpha,\beta,\gamma)$ vérifiant $\alpha+\beta+\gamma=1$. Prouver que $(\alpha,\beta,\gamma)$ et $(\alpha',\beta',\gamma')$ sont les coordonnées barycentriques d'un même point $M$ si et seulement si ces triplets sont proportionnels. Montrer que $\alpha=det(\vec{MB},\vec{MC})$, $\beta=det(\vec{MC},\vec{MA})$ et $\gamma=det(\vec{MA},\vec{MB})$ donnent un triplet de coordonnées barycentriques.
  • (Antoine Pichoff - 5.6) - Soient $a$, $b$, $c$, $d$ des réels tels que $ad-bc=1$. Montrer que pour tout nombre complexe $z$, non réel, on a $Im\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=\frac{Im(z)}{|cz+d|^2}$. Soit $\mathcal{P}=\{z\in\Cd$ tels que $Im(z)>0\}$, le demi-plan de Poincaré. Montrer que $\mathcal{P}$ est stable par toute application $s$ : $z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}$. Montrer que toute application $s$ (définie comme précédemment) peut se décomposer en un produit ($f\circ g$) appartenant à l'un des trois types suivants : $z\mapsto z +u$ (avec $u\in\Rd$), $z\mapsto vz$ (avec $v\in\Rd^*_+$) et $z\mapsto\frac{-1}{z}$. Interpréter géométriquement ces applications. Quelle figure décrit $s(z)$ lorsque le point d'affixe $z$ décrit un cercle contenu dans $\mathcal{P}$ ou une demi-droite de $\mathcal{P}$ ?
  • (Bertrand des Abbayes - 5.1) - Intersection du cercle de centre $(1;2)$ et de rayon 4 avec celui d'équation $x^2+y^2-4x+6y-3=0$. Vérification de la nature de l'intersection grâce aux rayons.
  • (Bertrand des Abbayes - 5.2) - Soit $\Gamma$ le cercle passant par $O$ et $A(a;a)$, pour $a\in\Rd^*$. Donner $y$ en fonction de $x$ et $a$. Quelle est l'intersection des tangentes en $A$ et $P$, si $P$ est le second point d'intersection du cercle avec $(Ox)$ ?
  • (Bertrand des Abbayes - 5.3) - Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan tels que $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont perpendiculaires et idem pour $\vec{BC}$ et $\vec{AD}$. Montrer que $\vec{BD}$ et $\vec{AC}$ le sont aussi.
  • (Didier Robbes - 5.1) - Montrer que le périmètre d'un triangle complètement inclus dans un polygone est inférieur au périmètre de ce polygone.
  • (Didier Robbes - 5.2) - Quels triangles d'aire S fixée et d'angle $CAB$ fixé ont un côté $BC$ de longueur minimale ?
  • (Didier Robbes - 5.3) - Montrer qu'on peut inscrire un cercle dans un quadrilatère si et seulement si les côtés opposés ont même somme.
  • (Françoise Gillardeau - 5.1) - Équations des bissectrices de $ux+vy+h=0$ et $wx+ty+k=0$ avec $u^2+v^2=w^2+t^2=1$.
  • (Françoise Gillardeau - 5.2) - Déterminer une équation de la réunion des deux tangentes issues de $A(6;1)$ au cercle de centre $O$ et de rayon 3.
  • (Françoise Gillardeau - 5.3) - Soit $A$, $B$, $C$ trois points non alignés du plan. Déterminer l'ensemble des barycentres de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ et $(C,\gamma)$ tels que $\alpha\beta AB^2+\beta\gamma BC^2+\alpha\gamma AC^2=0$.
  • (François Sauvageot - 5.1) - Trouver le lieu des points $M$ tels qu'il existe un cercle de centre $M$ passant par $B$ et dont les tangentes issues de $A$ sont perpendiculaires.
  • (François Sauvageot - 5.2) - Orthocentre du triangle dont les côtés ont pour équations $x-2y+3=0$, $2x-y-3=0$ et $x+2y+1=0$.
  • (François Sauvageot - 5.3) - Si $n$ droites se coupent $n-1$ à $n-1$, elles ont un point en commun.
  • (François Sauvageot - 5.4) - Donner les bissectrices des droites d'équations $3x+4y-7=0$ et $5x-12y+7=0$.
  • (Jacques Paris - 5.1) - Trouver les équations des côtés d'un triangle $(ABC)$ si on donne $B(-4;-5)$ et les équations de deux hauteurs : $5x+3y-4=0$, $3x+8y+13=0$.
  • (Jacques Paris - 5.2) - Soit $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$ six points distincts du plan tels que $A'BC$, $AB'C$, $ABC'$ et $A'B'C'$ sont alignés. Montrer que $ABC$ ne le sont pas. En introduisant le repère ${\cal R}=(A;\vec{AB},\vec{AC})$ montrer que les milieux de $[AA']$, $[BB']$ et $[CC']$ sont alignés.
  • (Jacques Paris - 5.3) - Montrer qu'il existe un point équidistant de toutes les droites $(1-\lambda^2)x+2\lambda y=4\lambda+2$.
  • (Jean-Louis Liters - 5.1) - Déterminer le lieu des points $M(z)$ tels que $A(1)$, $M(z)$ et $M'(1+z^2)$ sont alignés.
  • (Jean-Louis Liters - 5.2) - Déterminer le lieu des points $A(z)$ qui sont orthocentre du triangle $A(z)$, $B(z^2)$ et $C(z^3)$.
  • (Jean-Louis Liters - 5.3) - Pour $A$, $B$, $C$ fixés, déterminer les lignes de niveau de $(\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}).(\vec{MA}+\vec{MB})$.
  • (Jean-Michel Rey - 5.1) - Équations des tangentes au cercle de centre O et de rayon trois passant par $A(8;2)$.
  • (Jean-Michel Rey - 5.2) - Changement de repère et équation de droite. Intersection de deux cercles.
  • (Jean-Michel Rey - 5.3) - Changement de repère et équation de cercle.
  • (Mohammed Laadnani - 5.1) - $ABC$ est un triangle et $a$, $b$ et $c$ sont les affixes de $A$, $B$ et $C$. Montrer que $ABC$ est équilatéral si et seulement si $a+bj+cj^2=0$ avec $j=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$.
  • (Mohammed Laadnani - 5.2) - On donne les droites $D_{1}$ : $3x+4y-7=0$ et $D_{2}$ : $5x-12y+7=0$. Trouver les équations des bissectrices de $D_{1}$ et $D_{2}$.
  • (Mohammed Laadnani - 5.3) - $ABC$ est un triangle équilatéral et $M$ est un point intérieur à $ABC$. Exprimer les distances de $M$ à chacun des côtés du triangle puis vérifier que la somme est indépendante de $M$.
  • (Philippe Skler 5.1) - Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés, on considère $A'\in(BC)$, $B'\in(CA)$ et $C'\in(AB)$ trois points distincts de $A$, $B$ et $C$. Montrer que $A'$, $B'$ et $C'$ sont alignés si et seulement si $\displaystyle\frac{\overline{A^{\prime }B}}{\overline{A^{\prime}C}}\frac{\overline{B^{\prime }C}}{\overline{B^{\prime }A}}\frac{\overline{C^{\prime }A}}{\overline{C^{\prime }B}}=1$.
  • (Philippe Skler 5.2) - Soit $(ABC)$ un triangle équilatéral et $M$ un point à l'intérieur du triangle. Montrer que la somme des distances de $M$ aux trois côtés ne dépend pas de $M$.
  • (Philippe Skler 5.3) - Soit $(ABC)$ un triangle, on note $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$. Soient $P$ le milieu de $[A,B]$ et $N$ le milieu de $[A,C]$. Montrer l'équivalence suivante $(BN)\perp(CP)\Leftrightarrow b^{2}+c^{2}=5.a^{2}$.
  • (Véronique Bluteau - 5.1.1) - Reconnaitre la courbe d'équation polaire $r=\frac1{\cos(\theta)+\sqrt3\sin(\theta)}$.
  • (Véronique Bluteau - 5.1.2) - Soit $a\gt0$. Justifier que, pour $\lambda\in\Rd$, l'équation cartésienne $(1-\lambda^2)x+2\lambda y+a(\lambda^2-2\lambda+3)=0$ définit une droite $D_\lambda$. Déterminer l'ensemble des points du plan par lesquels il passe au moins une droite $D_\lambda$.
  • (Véronique Bluteau - 5.2) - Montrer qu'il existe deux droites contenant $A(9;4)$ et tangentes au cercle ${\cal C}$ de centre $I(4;-1)$ et de rayon $\sqrt5$. Déterminer une équation de chacune de ces droites ainsi que leurs points de contact avec ${\cal C}$.
  • (Véronique Bluteau - 5.3.1) - Reconnaitre et représenter la courbe d'équation polaire $r=3\cos(\theta)-4\sin(\theta)$.
  • (Véronique Bluteau - 5.3.2) - Soit ${\cal C}$ un cercle et $M$ un point du plan. Une droite issue de $M$ coupe le cercle en $A$ et $B$. Démontrer que $\vec{MA}.\vec{MB}$ ne dépend pas de la sécante issue de $M$ choisie.