Brève introduction à la théorie des groupes

Avec du matériel d'école primaire, ficelle, crayons de couleur, papier, ciseaux etc. on chemine entre la magie des tours automatiques (ce qui
ne veut pas dire qu'ils soient faciles à réaliser !) et les surprises qu'amènent les tentatives de les comprendre.

On s'intéresse aux formes, ou plutôt aux transformations, aux déformations ... et même aux informations nécessaires pour les
transmettre !

Une participation active, y compris corporelle, est demandée lors de l'atelier : il faut réaliser des tours de magie et la restitution de
l'atelier prend la forme d'un spectacle d'une demie-heure. L'atelier est constitué de six séances de 3h dont une consacrée à la préparation de la restitution. Chaque séance commence par une mise en situation "corporelle" et un défi ludique, avant de mathématiser la situation pour la comprendre et pour pouvoir répondre à des questions simples et naturelles.

  1. Première séance
    • Mise en situation : danses bretonnes (ronde vs chaîne) et noeuds de cravate.
    • Objectif : démontrer que le noeud de trèfle n'est pas trivial et n'a pas d'inverse.
    • Questions : comment coder un noeud ? comment formuler la question ? quels mouvements modifient le codage sans modifier le noeud ?
    • Notions apportées : mouvements de Reidemeister, tri-colorations.
    • Pour aller plus loin : exposé de Michael Eisermann (à Lyon et/ou à l'APMEP).
  2. Deuxième séance
    • Mise en situation : histoire de Harry Houdini (et donc de Jean-Eugène Robert-Houdin) et de Lionel Shrike. Tour de Houdini et casse-tête "tangles pairs".
    • Objectif : dégager la notion de groupe, notamment à travers les groupes de symétrie des figures, sans encore vraiment le formaliser à partir de tours de ficelle.
    • Commentaire : il s'agit de rendre un noeud trivial par passage au quotient (i.e. en libérant une contrainte). Les mises en scènes ont été inventée pour les besoins de mes animations et spectacles. La situation de départ provient d'un atelier MATh.en.JEANS créé à Nantes.
    • Pour aller plus loin : documentaire Not knots du Geometry center (version originale ou version française).
  3. Troisième et quatrième séances
    • Mise en situation : lecture du conte de Jacques Roubaud La princesse Hoppy ou le conte du labrador. Mises en scène mettant le groupe à deux éléments et $V_4$.
    • Objectif : voir la structure de groupe derrière le conte, à savoir $V_4$, et éventuellement rectifier une erreur de maths dans le conte. Chemin faisant, classifier tous les groupes à 1, 2, 3, 4, 6 ou 8 éléments et on en donnera des réalisations géométriques. Pour cela on utilise les tables de Pythagore et des conséquences simples : le théorème de Ghys (les sous-groupes propres d'un groupe de cardinal fini contiennent au plus la moitié des éléments de ce groupe) et sa généralisation, à savoir le théorème de Lagrange.
    • Pour aller plus loin : Un théorème qui a du chien sur le site Images des maths. On peut aussi étudier l'application des groupes à des situations plus inattendues comme les mariages ! C'est un des points développés par Claude Lévy-Strauss, avec la complicité d'André Weil dans Les structures de la parentalité.
  4. Dernière séance
    • Mise en situation : épisode The prisoner of Brenda de Futurama et simulation de la situation. Formalisation des groupes de permutation.
    • Objectif : résolution des équations de degré 2 et 3 à travers les notions de permutation et d’ambiguïté.
    • Pour aller plus loin : l'épisode de Futurama a donné lieu à des développements mathématiques.
  5. Restitution
    • Option 1 : démonstration en actes de la théorie de Galois, avec une algèbre "corporelle".
    • Option 2 : magie topologie et situation de Futurama.

Les défis seront inspirés de mises-en-scènes proposées par Tadashi Tokieda, Martin Gardner ou Ian Stewart.