Cours

  • Analyse I - Calcul différentiel et intégral
    • Introduction historique : notion de fonction (Nicole d'Oresme, Euler), problèmes (pente, tangente, normale à une courbe), motivations (calcul de l'angle selon lequel se coupent deux courbes, construction de télescope ou d'horloge, recherche d'extrema, vitesse, accélération, astronomie, gravitation). Première approche : fonction affines $\displaystyle a=\frac{\Delta y}{\Delta x}$, parabole, points de vue de Leibniz (1684 - infiniment petits $dx$ et $dy$) et de Newton (1671/1736 - fluxions $\dot{x}$), développement et controverses (Jacob et Johann Bernoulli - 1684, Guillaume de L'Hôpital - 1696, Nieventijt, Rolle, Maclaurin - 1742, Leonhard Euler - 1755, Jean d'Alembert - 1754), rejet de Joseph-Louis Lagrange (1797) et introduction du mot dérivée et de la notation $f^\prime$, rejet des séries de Taylor par Augustin-Louis Cauchy (1823), approche moderne par Bernhard Bolzano (1817) et Karl Weierstrass (1861), place dans la pensée de Felix Klein (1908) des infiniment petits.
    • Premiers résultats : dérivation d'une combinaison linéaire, d'un produit, d'un quotient, d'une fonction réciproque, de l'exponentielle, du logarithme, des fonctions trigonométriques, des fonctions composées. Exemple de la conchoïde (Nicomède, -200) en vue de la duplication du cube et de la trisection de l'angle.
    • Calcul d'ordre supérieur : interprétation géométrique de la dérivée seconde (Newton1665 et Johan Bernoulli 1691), convexité, concavité, point stationnaire, extrema. Exemple : principe de Fermat et loi de Snellius. Transformation des fonctions en séries : Taylor (postule $\displaystyle\frac{\Delta^ky}{\Delta x^k}$ tend vers $f^{(k)}$ - 1715), approche de Maclaurin (approximation par des polynômes tels que $P^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0)$ - 1742), application à la recherche de solutions d'équation (méthode de Newton, méthode Halley).
    • Courbes paramétrées : arcs paramétrés (supposés de classe $C^k$ avec $k\ge1$ voire $k$ suffisamment grand), support, arcs simples, points doubles. Points réguliers, points stationnaires, définition de la notion de tangente et cas des points réguliers. Allure locale : cas des points ordinaires (bi-réguliers), points d'inflexion, points de rebroussement. Classification en fonction de $p=\min\{k\ge1\;|\;f^{(l)}(t_0)\ne0\}$ et $q=\min\{k\gt p\;|\;\det(f^{(p)}(t_0),f^{(k)}(t_0))\ne0\}$. Asymptotes et branches infinies. Étude des arcs cartésiens : domaine d'étude, réduction, variations de $x$ et $y$, points stationnaires (via la formule de Taylor, par mise en facteur, par la tangente), asymptotes, tracé.
    • Introduction historique (suite) : enveloppes de droites (Albrecht Dürer, Gottfried Leibniz, Johann Bernoull, Guillaume de L'Hospital), caustiques (Johann Bernoulli), courbes ballistiques et parabole de sécurité (Evangelista Torricelli, Johann Bernoulli).
    • Calcul intégral : théorème fondamental du calcul différentiel et intégral (Leibniz-Newton). Notation de Fourier (1822) : $\int f(x)dx$ pour une primitive et $\int_a^bf(x)dx$ pour une aire). Primitives usuelles et applications (aire sous une parabole, aire d'un disque, méthode de Kepler (1615), volume d'une sphère, travail d'une force, longueur d'arc, centre de masse). Techniques de primitivation  : linéarité, changement de variable, intégration par parties. En particulier : changement de variable affine, relation implicite, relation de récurrence. Primitives de $\ln$, $\arctan$, $P(x)\exp(x)$, $P(x)\sin(x)$, Intégrales de Wallis : $\int \sin^n(x)dx$ et $\int (1+x^2)^{-n}dx$. Formule de Taylor avec reste intégral (Cauchy, 1821). Application à l'estimation de l'erreur dans l'approximation de $\exp(x)$ par $1+x+x/2!+\cdots+x^n/n!$.
    • Fractions rationnelles : division euclidienne, décomposition en éléments simples, intégration des éléments simples. Existence et unicité du quotient et du reste de la division euclidienne d'un polynôme par un autre, non nul : $A=BQ+R$ avec $\deg(R)\lt\deg(B)$. Décomposition d'un polynôme en produit de termes du premier degré (théorème de d'Alembert-Gau\ss) sur $\Cd$. Décomposition sur $\Rd$ : regroupement des termes correspondants aux racines complexes conjuguées, multiplicités égales de ces racines. Classification des éléments simples : $\displaystyle\frac{\alpha}{(X-a)^k}$ (sur $\Cd$ ou sur $\Rd$) et $\displaystyle\frac{\alpha X+\beta}{(X^2+aX+b)^k}$ avec $a^2\lt4b$ (sur $\Rd$). Existence et unicité de la décomposition de $A/B$ sous la forme d'une somme de $Q$ et d'éléments simples avec $a$ racine de $B$ et $k$ inférieur ou égal à sa multiplicité dans $B$, ou $X^2+aX+b$ facteur de $B$ et $k$ inférieur ou égal à sa multiplicité dans $B$. Exemples de calculs et d'obtention des éléments simples : en multipliant par $(X-a)^m$ et en évaluant en $a$, en étudiant la limite en l'infini de $x^kR(x)/Q(x)$, en prenant des valeurs particulières. Adaptation au cas réel et équivalence avec un système linéaire d'équations.
    • Fonctions trigonométriques : règles de Bioche, changement de variable en $\tan(x/2)$. Exemples.
    • Méthodes numériques : fonctions sans primitive usuelle, exemples historiques. Formule de Nicolaus Mercator $\displaystyle\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\cdots$, d'Isaac Newton $\displaystyle\arcsin(x)=x+\frac12\frac{x^3}3+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\frac{x^5}5+\cdots$.
  • Analyse II - Equations différentielles
    • Introduction historique : Leibniz (1687), Claude Perrault (1672), châinette (Galilée, Leibniz, Johann Bernoulli 1691), brachistochrone (Johann Bernoulli 1696).
    • Résolution explicite : Equations à variables séparées ou séparables, équations linéaires du premier ordre homogène ou non (Johann Bernoulli), équation de "mon frère" (Jacob et  Johann Bernoulli, 1697). Les équations du second ordre sont rarement résoluble de façon exacte.
    • Equations différentielles linéaires homogènes : notion d'opérateur différentiel linéaire, espace de solutions. Equations à coefficients constants et théorème d'Euler (1743) pour $n\le2$.
    • Equations différentielles linéaires non-homogènes : principe de superposition, méthode d'Euler pour la recherche d'une solution particulière (1755) notamment quand le second membre est de la forme $P(x)\exp(\lambda x)$, cas de résonnance, méthode de Lagrange (1775, 1788) dite de variation de la constante.
    • Résolution numérique : courbes intégrales, méthode d'Euler, développement en série de Taylor.
  • Analyse III - Nombres réels
    • Introduction historique. Discussion et réflexions sur la nature de l'égalité et celle des nombres : déclaration universelles des droits de l'Homme, Pythagore (Démocrite), Theodorus (Platon), Euclide, Aristote, Zénon, Stevin (développement décimal), Wallis (fractions continues), José Anastasio da Cunha, Abel, Cauchy, Weierstrass, Bolzano, Dedekind (coupures) et Cantor (suites de Cauchy).
    • Propriétés de $\Rd$
      • Ordre et topologie : corps totalement ordonné, intervalles, parties majorées (minorées, bornées), majorants (minorants, bornes), plus grand (petit) élément, borne supérieure (inférieure); propriétés fondamentales : (P1) $\Rd$ est archimédien, (P2) propriété des segments (compacts) emboités, (P3) propriété de la borne supérieure, (P4) propriété de la borne inférieure. Théorème admis (Cantor, Dedekind, Heine, Méray 1872) : il existe un unique corps totalement ordonné ayant l'une des propriétés équivalentes (P1 et P2), (P3) ou (P4). Démonstration de l'équivalence des propriétés. Exemples et contre-exemples sur ces propriétés. Propriétés élémentaires de l'ordre et conséquences : existence de la partie entière, densité des rationnels, caractérisation des bornes supérieure et inférieure.
      • Convexité : caractérisation des intervalles par barycentre, convexité, description des convexes de $\Rd$.
      • Valeur absolue et distance (métrique) : définitions, propriétés élémentaires, multiplicativité, inégalité triangulaire. Boules ouvertes et fermées.
  • Analyse IV - Suites
    • Définition : structure d'algèbre sur $\Rd^\Nd$ (lois distinctes de $\Rd^{(\Nd)}=\Rd[X]$), injection de $\Rd$ dans $\Rd^\Nd$, vocabulaire, terme général, à partir d'un certain rang, suite extraite, sous-suite, majorée, minorée, bornée, stationnaire, constante, (strictement) (dé)croissante, (strictement) monotone. Ordre partiel sur $\Rd^\Nd$.
    • Convergence : définition (d'Alembert 1765) avec des $\epsilon$, avec des intervalles (boules) ouvert(e)s, avec des voisinages. Notations : $\lim_{n\to+\infty}a_n=\ell$ et $a_n\to\ell$. Mise en garde sur l'écriture $\lim$. Exemples. Unicité de la limite. Divergence, divergence vers $\pm\infty$. Convergence des sous-suites, critères de convergence et de divergence via des suites extraites.
    • Compatibilité de la convergence avec l'ordre : toute suite convergente est bornée et contraposée, critère de convergence par majoration par une suite tendant vers 0, compatibilité avec la valeur absolue et avec les inégalités larges. Placement des termes d'une suite par rapport à un nombre réel, théorème d'encadrement des limites, théorème de convergence monotone, théorème des segments emboités, suites adjacentes. Exemples ($e$ est irrationnel, moyenne arithmético-géométrique, arithmético-harmonique). Théorème de Bolzano-Weierstrass (Weierstrass 1874).
    • Compatibilité aux structures algébriques : structure vectorielle, structure de corps. Suites convergence et divergentes.
    • Relations de comparaison. Espaces vectoriels $O(x_n)$ et $o(x_n)$ (ces O sont des omicron), suites dominées par ou négligeables devant une autre, notation de Hardy, (abus de) notation de Landau, caractérisation ($x_n=k_ny_n$ ou $x_n=\varepsilon_ny_n$, avec $k_n$ bornée ou $\varepsilon_n$ tendant vers 0, à partir d'un certain rang), transitivité, compatibilité au produit, échelle de référence $\ln^\alpha(n)\ll \ln^\beta(n)\ll n^\alpha\ll n^\beta\ll a^n\ll b^n\ll n!\ll n^n$ pour $\alpha<\beta$ et $1\lt a\lt b$.
    • Suites équivalentes. Définition, relation d'équivalence, notation, propriétés élémentaires ($x_n\sim y_n\Leftrightarrow x_n-y_n\in o(y_n)$, signe de deux suites équivalentes, convergence de deux suites équivalentes, $x_n\sim\ell\Leftrightarrow\lim x_n=\ell$ lorsque $\ell$ est non nul, $x_n\sim0$ si et seulement si $x_n$ est nul à partir d'un certain rang), compatibilité aux opérations (produit, division car le dénominateur est non-nul à partir d'un certain rang, addition : si $z_n\ll y_n$ et $x_n=y_n+z_n$, alors $x_n\sim y_n$). Mise en garde : l'équivalence n'est pas compatible à l'addition, ni à la composition. Pour $f$ dérivable en $\ell$ telle que $f'(\ell)\ne0$, $\lim a_n=\ell\Rightarrow (f(a_n)-f(\ell))\sim f'(\ell)a_n$. Application à $\ln(1+a_n)$, $e^{a_n}-1$, $\sin(a_n)$, $(1+a_n)^\alpha-1$.
    • Développements asymptotiques. Étude d'exemples : $\cos(a_n)=1-a_n^2/2+o(a_n^2)$, l'unique solution de $x+\ln(x)=n$ admet le développement $x_n=n-\ln(n)-\ln(n)/n+o(\ln(n)/n)$.
    • Suites complexes. Définitions et propriétés (convergence, caractère borné, algèbre et compatibilité à la limite), compatibilité à la partie réelle, partie imaginaire, module, conjugaison. Suites extraites, critères de convergence et de divergence, théorème de Bolzano-Weierstrass.
  • Analyse V - Continuité - Les grands théorèmes d'analyse
    • Introduction. Définition de la notion de fonction : Leibniz-Bernoulli (functio), Euler ($y=f(x)$), Dirichlet (définition générale, 1837), exemples. Extension des notions relatives aux suites aux fonctions : algèbre des fonctions réelles sur un intervalle $I$ (noté $\Rd^I$ ou ${\cal F}(I,\Rd)$), relation d'ordre, valeur absolue, $\sup$, $\inf$, fonctions majorées, minorées, bornées.
    • Continuité. Définition (Cauchy 1821, Bolzano 1817 et Weierstrass 1874). Extension des notions relatives aux suites aux fonctions : limite (à gauche, à droite), domination, négligeabilité, équivalence. (résumé de cours). Prolongement par continuité, limite en une borne d'un intervalle ouvert. Ccaractérisation séquentielle, compatibilité à la structure d'algèbre et à la composition. Théorèmes fondamentaux : théorème de Bolzano (1817, dit des valeurs intermédiaires), théorème de Weierstrass (1861, dit du maximum). Ré-interprétation : l'image par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle, d'un intervalle compact est un intervalle compact.
    • Fonctions monotones et inverse. Toute fonction continue et injective sur un intervalle est strictement monotone. Toute fonction continue et bijective sur un intervalle est un homéomorphisme (deux démonstrations).
    • Uniforme continuité. Définition, l'uniforme continuité entraine la continuité. Théorème de Heine (1872).
    • Taxonomie des fonctions : Sous-algèbre $C^0(I)$. Composition, restriction et compatibilité à la continuité. Sous-algèbres $C_b(I)$ et $C^0_b(I)$. Sous-algèbres des fonctions paires et impaires ($I$ symétrique) et $T$-périodiques ($I=\Rd$), périodes. Sous-algèbre des fonctions lipschitziennes, ${\cal L}ip(I)\subset C^0(I)$, fonctions $k$-lipschitziennes ou lipschitziennes de rapport $k$, fonctions contractantes. Une telle fonction est uniformément continue. Fonctions continues par morceaux, fonctions en escalier : ce sont des sous-algèbres notées $C_{mcx}^0(I)$ et ${\cal E}(I)$. Notion de subdivision ${\cal D}=\{x_0,\cdots,x_n\}$, de subdivision plus fine.
  • Analyse VI - Intégration
    • Introduction Eudoxe de Cnide, Euclide, Archimède, Fermat, Cauchy, Riemann, Du Bois-Reymond, Darboux, Lebesgue. Hypothèse générale : $I$ intervalle compact et $f$ bornée. Définition des sommes de Darboux inférieures et supérieures $s(D)$ et $S(D)$. Remarque fondamentale : $\sup_I f-\inf_I f=\sup_{(x,y)\in I^2}|f(x)-f(y)|$. Définition de l'intégrabilité (au sens de Riemann) comme borne supérieure (resp. inférieure) de sommes de Darboux inférieures (resp. supérieures) et critère d'intégrabilité : $\forall\varepsilon\gt0$, $\exists D$, $S(D)-s(D)\leq\varepsilon$. Exemples : $1$, $x$, fonctions en escalier. Contre-exemple : $1_{[0;1]\cap\Qd}$. Exemple de $f(p/q)=1/q$ et $f(\Rd\setminus\Qd)=0$.
    • Fonctions intégrables Sous-algèbre $L^1(I)$, intégrabilité de $1/g$ si elle est définie et bornée. Intégrabilité des fonctions rationnelles. L'intégrale comme forme linéaire. Théorème de Cauchy (1823) démontré par Weierstrass (1873) : $C^0(I)\subset L^1(I)$ et $C^0_{mcx}(I)\subset L^1(I)$. L'intégrabilité et l'intégrale ne changent pas si on modifie une fonction en un nombre fini de points. Théorème de Michel Chasles.
    • Fonctions intégrables. Intégrabilité des fonctions monotones. La convergence uniforme ($\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|\to 0$) entraine la convergence en moyenne $\int_If_n\to\int_If$ pour des fonctions $(f_n)_{n\in\Nd}$ et $f$ dans $L^1(I)$.
    • Inégalités. Inégalité de la moyenne, $f\to\int_If$ est une forme linéaire positive sur $L^1(I)$, $\left|\int_If\right|\le\int_I|f|$, $\left|\int_Ifg\right|\le\sup_I|f|.\int_I|g|$, inégalité de Cauchy-Schwarz (en fait Bunyakowski) et intermède sur les polynômes homogènes de degré 2 en deux variables et le lien avec les matrices $\left(\begin{array}{cc}a&b\\b&c\end{array}\right)$. Théorèmes de la moyenne (Cauchy) : l'intégrale vue comme moyenne ou moyenne pondérée - pour $f$ et $g$ dans $L^1(I)$ avec $f$ continue et $g$ positive, $\displaystyle\frac1{b-a}\int_{[a,b]}f=f(c)$ et $\displaystyle\int_{[a,b]}fg=f(c)\int_{[a,b]}g$.
  • Analyse VII - Différentiation
    • Introduction : Newton, Leibniz, Cauchy. Hypothèse générale : $I=]a;b[$, intervalle ouvert de $\Rd$. Définition de Cauchy (1821) par prolongement de la fonction taux d'accroissement, définition de Weierstrass (1861) par développement limité à l'ordre 1. Définition et unicité du développement limité à l'ordre 1. Définition de Carathéodory (1950) : $f$ de $I$ dans $\Rd$ est dérivable en $x_0$ (pour $x_0\in I$) si et seulement s'il existe une fonction continue $\varphi$ sur $I$, continue en $x_0$ et telle que $\forall x\in I$, $f(x)=f(x_0)+(x-x_0)\varphi(x)$. On a alors $f'(x_0)=\varphi(x_0)$. Fonctions dérivables sur $I$, fonctions continûment dérivables sur $I$ : $D^1(I)$, $C^1(I)$. Propriétés. Étude du signe de la dérivée, extrema. Algèbre des fonctions dérivables en $x_0$, composition, inverse.
    • Différentiation et intégration. Pour $f\in C^0(I)$, $\int_{[a,x]}f$ est une primitive de $f$, théorème de Rolle (1690 pour les polynômes, Pierre-Ossian Bonnet, 1860, pour les fonctions), théorème de Lagrange (1797) dit des accroissements finis. Caractérisation des fonctions constantes, fonctions à dérivée strictement positive, inégalité des accroissements finis. Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral.
    • Compléments d'intégration : Notation $\int_a^bf(t)dt$, relation de Chasles, intégration des fonctions continues : $(f\geq0$ et $\int_If=0)\Leftrightarrow f=0$, cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
    • Fonctions à valeurs complexes : intégration des parties réelle et imaginaire (ou par sommes de Riemann, mais pas par sommes de Darboux), fonctions continues par morceaux et théorème de Cauchy, intégration des fractions rationnelles, linéarité de l'intégrale, relation de Chasles. Perte de la positivité et l'égalité de la moyenne. Validité de l'inégalité de la moyenne : si $u=\int_If\in\Cd$, $|u|^2=\int_Iu\cdot f\le\int_I|u|.|f|=|u|\int_I|f|$ et donc $\left|\int_If\right|\le\int_I|f|$. Inégalités : $\left|\int_Ifg\right|\le\sup_I|f|.\int_I|g|$, Cauchy-Schwarz (Bunyakowski), Minkowski, Hölder. Dérivation : définitions de Cauchy, Weierstrass et Carathéodory. Algèbres $C^n(I,\Kd)$, $D^n(I,\Kd)$ et $C^\infty(I,\Kd)$. Quotient et composition des dérivées. Non-validité des théorèmes de Rolle et Lagrange. Validité de l'inégalité des accroissements finis : si $u=f(b)-f(a)$ et $g(x)=u\cdot f(x)$, $g(b)-g(a)=|u|^2\le u\cdot f'(c)\le|u|.|f'(c)|$. Corollaires : $f$ continue sur $[a;b]$ et dérivable sur $]a;b[$ est de dérivée identiquement nulle sur $]a;b[$ si et seulement si elle est constante sur $[a;b]$; $f'=g'$ sur $]a;b[$ si et seulement si $f$ et $g$ diffèrent d'une constante; si $f'$ est bornée, $f$ est $\sup_I|f'|$-lipschitzienne; le théorème de Leibniz-Newton est valide pour $f\in C^0(I,\Kd)$.
  • Analyse VIII - Étude locale des fonctions
    • Introduction : plan d'étude. Ensemble de définition, restriction, régularité ($C^n$, $D^n$, gauche, droite, points anguleux), prolongements (limites, équivalents, prolongements par continuité, discontinuités simples), études aux bornes (asymptotes, branches asymptotiques), extrema, points particuliers, tangentes particulières.
    • Équivalents : Compatibilité à l'intégration pour les fonctions positives.
    • Développements limités : polynôme de Taylor de degré $n$ en $a$, théorèmes de Taylor avec reste de Laplace (ou reste intégral, $f$ de classe $C^{n+1}$), reste de Lagrange ($f$ dérivable $n+1$ fois), reste de Young ($f$ de classe $C^n$). Développements limités. Équivalence entre continuité en $a$ et existence d'un développement limité à l'ordre 0, entre dérivabilité en $a$ et existence d'un développement limité à l'ordre 1. Pour $p\le n$, $DL_n(a)\subset DL_p(a)$. Unicité du développement limité, cas des fonctions (im)paires. Intégration des développements limités. Développements usuels (fonctions trigonométriques, exponentielle, logarithme, binôme), somme, produit, composition, intégration et formules de Taylor. Rappel de la formule de Leibniz.
    • Opérations sur les développements limités : algèbre $DL_n(a)$, compatibilité à l'intégration et à la composition. Développement asymptotique suivant les puissances de $1/x$ et $x$ lorsque $x^kf(x)\in DL_n(0)$. Exemples de $1/\sin(x)$, de $\cot(x)$. Développements en $\pm\infty$.
    • Applications : prolongements par continuité (exemple de $\displaystyle\frac1{\sin(x)}-\frac1{\tan(x)}$), étude locale et placement par rapport à la tangente, branches infinies, recollement des équations différentielles.
    • Propriétés fines de la dérivée : Si $f$ est dérivable sur $I\setminus\{a\}$, continue en $a$ et telle que $f'$ tende vers $\ell$ en $a$, alors $f$ est dérivable en $a$ de dérivée égale à $\ell$. Extension au cas $C^n(I\setminus\{a\})$. Pour $f$ dérivable sur $]a;b[$ avec $-\infty\le a<b\le +\infty$ ayant des limites en $a$ et $b$ égales, annulation de $f'$ sur $]a;b[$. Caractérisation des $C^n$-difféomorphismes par la non-annulation de la dérivée. Caractérisation des fonctions (strictement) monotones. Caractérisation des fonctions convexes. Application aux suites récurrentes et à des méthodes d'approximation.