Cours

Début d'année

  • Première séance : qu'est-ce que les mathématiques ? Dissertation, discussion.
  • Deuxième séance : qu'est-ce qu'un nombre ?
  • Chapitre I : Introduction à l'analyse de l'infini - origine des fonctions élémentaires, impact de la "Géométrie" de Descartes (1637), présentation historique avec la rigueur de l'époque, Euler "Introductio in analysin infinitorum" (1748)
    • 1. Coordonnées cartésiennes
      • a. Euclide (-300), Alexandrie, civilisation grecque, écriture arabe, travaux indiens et arabes, croisades, traductions : Euclide, Aristote, Platon, Archimède, Appolonius, Ptolémée, Aryabhata, Brahmagupta, Al-Khwarizmi, Gérard de Cremona, Robert of Chester, Leonardo da Pisa, Regiomontanus.
      • b. Algèbre : Al-jabr wal muqabala par Al-Khwarizmi (830). Interprétation géométrique de l'équation quadratique. Exemples : $x^2+10x=39$ vue dans un carré de côté $5+x$, $x^2+21=10x$ vue dans un rectagle de côtés 10 et $x$. Application à $x(10-x)=21$, interprétation de la somme et des produits des racines d'un polynôme du second degré : $\alpha$ et $\beta$ sont racines de $x^2-Sx+P$ si et seulement si $\alpha+\beta=S$ et $\alpha\beta=P$.
      • c. Nicolo Tartaglia (1499-1557) et Scipio del Ferro (1465-1526) : résolution de l'équation du troisième degré vue comme un cube de côté $x+v$. Exemple de $x^3+6x=20$. Idée principale : rajouter un paramètre, puis une contrainte de façon à simplifier l'équation du troisième degré en la ramenant à deux équations de degré inférieur. Commentaires sur la pertinence relative des formules (dite de Cardan) et sur les récritures : $\sqrt[3]{\sqrt{108}+10}-\sqrt[3]{\sqrt{108}-10}$ est en fait égal à 2. Etude des fonctions du troisième degré et démonstration qu'un tel polynôme n'a qu'une ou trois racines réelles. Cas de $x^3+6x-20$. Equation de degré 4 par Ludovico Ferrari. Equation de degré 5 (non résolubilité) par Niels Hendrik Abel, réinterprétation par Evariste Galois.
      • d. Algebra nova (1600) par François Viète (1540-1603). Viète prétend résoudre tous les problèmes géométriques grâce à l'algèbre : Introduction à l'art de l'analyse (In artem analyticam isagoge, 1591) et Algèbre nouvelle (Algebra nova, 1600). Exemple de la trisection de l'angle : révision des formules d'addition de cosinus et sinus, obtention de la formule pour le sinus de l'angle triple. Autres problèmes grecs : duplication du cube, quadrature du cercle, théorème de Pappus. Etude de l'équation de degré 2. Résolution algébrique de l'équation de degré 3 : $y^3+ay^2+by+c=0$. Transformation $y+a/3=x$ : mise sous la forme $x^3+px+q=0$. Ecriture $x=u+v$ et système d'équations : $3uv+p=0$ et $u^3+v^3=-q$. Résolution par Al-Khwarizmi. Formules de Cardan $$x=\sqrt[3]{-\frac{q}2+\frac{\sqrt3}{18}\sqrt{4p^3+27q^2}}+\sqrt[3]{-\frac{q}2-\frac{\sqrt3}{18}\sqrt{4p^3+27q^2}}$$ Commentaires sur les racines cubiques : racines cubiques de l'unité (1, $j=\exp(2i\pi/3)$ et $j^2=\bar\jmath$), existence de trois racines cubiques (distinctes) pour tout complexe (non nul). L'équation de degré 3 a trois racines réelles si et seulement si le discriminant $4p^3+27q^2$ est négatif, écriture des solutions comme parties réelles de nombres complexes.
      • e. Géométrie (Descartes, 1637). Résolution du problème de Pappus grâce aux méthodes de Viète, en se ramenant aux coniques (Appolonius). Etude brève des coniques comme sections de cônes : équivalence du point de vue "intersection du cône d'équation $x^2+y^2=z^2$ avec un plan quelconque" et "intersection du plan d'équation $z=1$ et d'un cône quelconque du second degré, d'équation $ax^2+bxy+cy^2+dxz+eyz+fz^2=0$". Les coniques sont les courbes d'équation $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$/
      • f. Fonctions polynomiales. Equivalence de point de vue entre fonctions et courbes. Définition : Une expression polynomiale est une expression de la forme $y= a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n=\sum_{i=0}^na_ix^i$. On dit qu'elle est de degré $n$ (en supposant $a_n\ne0$). Introduction à l'interpolation et mise en garde sur l'extrapolation, utilité (logarithme, navigation) : Henry Briggs (1556-1630), Sir Thomas Harriot (1560-1621). Isaac Newton (1642-1727) résout le problème avec la méthode de Viète. Tableau aux différences pour $y=A+Bx+Cx^2+Dx^3$ : $$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|}n&x_n&y_n=\Delta^0y_n&\Delta y_n=\Delta^1y_n&\Delta^2y_n&\Delta^3y_n\\ 0&0&y_0=A&y_1-y_0=B+C+D&\Delta y_1-\Delta y_0=2C+6D&6D\\1&1&y_1=A+B+C+D&y_2-y_1=B+3C+7D&2C+12D\\2&2&y_2=A+2B+4C+9D&B+5C+19D\\3&3&y=3=A+3B+9C+27D\end{array}$$ Exemples numériques. Conjecture et énoncé du théorème (Théorème d'interpolation de Newton - méthode des différences) : Le polynôme de degré au plus $n$ prenant les valeurs $y_0$, $y_1$, $\ldots$, $y_n$ en 0, 1, $\ldots$, $n$ respectivement est donné par la formule $$y=y_0+\frac{x}1\Delta y_0+\frac{x(x-1)}{1\cdot2}\Delta^2y_0+\cdots+ \frac{x(x-1)\ldots(x-n+1)}{1\cdot2\cdots n}\Delta^ny_0=\sum_{k=0}^n\frac{\Delta^ky_0}{k!}P_k(x)$$ où $P_k$ est défini par $P_0=1$, $P_1=X$ et plus généralement $P_k=x(x-1)\ldots(x-k+1)=\prod_{\ell=0}^{k-1}(x-\ell)$. Commentaire sur les conventions : $\sum_\emptyset=0$ et $\prod_\emptyset=1$. Etude de cas particuliers : les fonctions puissances. Annulation de la $n+1$ème colonne lorsque l'expression est de degré inférieur à $n$. Conséquences : somme des cubes des entiers. Exercice (obligatoire) $$\sum_{k=1}^nk=\frac{n^2}2+\frac{n}2\quad\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n^3}3+\frac{n^2}2+\frac{n}6\quad\sum_{k=1}^nk^3=\frac{n^4}4+\frac{n^3}2+\frac{n^2}4$$ $$\sum_{k=1}^nk^4=\frac{n^5}5+\frac{n^4}2+\frac{n^3}3-\frac{n}{30}\quad\sum_{k=1}^nk^5=\frac{n^6}6+\frac{n^5}2+\frac{5n^4}{12}-\frac{n^2}{12}.$$ Plus généralement (théorème de Jacob Bernoulli - 1705 - théorème admis) $$\sum_{k=1}^nk^q=\frac{n^{q+1}}{q+1}+\frac{n^q}2+\frac{q}{2}An^{q-1}+\frac{q(q-1)(q-5)}{2\cdot3\cdot4}Bn^{q-3}+\frac{q(q-1)(q-2)(q-3)(q-4)}{2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}Cn^{q-5}+\cdots$$ Les nombres qui apparaissent sont les nombres de Bernoulli : $$\frac16\,,\quad-\frac1{30}\,,\quad\frac1{42}\,,\quad-\frac1{30}\,,\quad\frac5{66}\,,\quad-\frac{691}{2730}.$$ Démonstration du théorème de Newton : utilisation de $\Delta$ comme opérateur sur les suites de nombres ($y_0$, $y_1$, $\ldots$, $y_n$) ou comme opérateur sur les polynômes. On conjecture que la bonne définition est : $(\Delta P)(X)=P(X+1)-P(X)$. Etude de l'opérateur $\Delta$ sur l'ensemble $\Rd[X]$ des polynômes à coefficients réels : $\Delta$ abaisse le degré (d'exactement 1, sauf pour les constantes), s'annule exactement sur les constantes, transforme $P_k$ et $kP_{k-1}$, est linéaire, i.e. transforme $\alpha P+\beta Q$ en $\alpha\Delta(P)+\beta\Delta(Q)$ lorsque $\alpha$ et $\beta$ sont des scalaires (nombres réels). On montre enfin $\Delta^ny_0=\Delta^n(P)(0)$ où $\Delta$ désigne ici les deux opérateurs différents : l'un sur les suites, l'autre sur les polynômes. La démonstration se fait par récurrence (forte) sur le degré de l'expression polynomiale. L'initialisation résulte de $\Delta^0y_0=P(0)$. L'hérédité se fait en deux temps : on applique l'hypothèse de récurrence à $\Delta(P)$ et on montre que $P$ différe de l'expression recherchée d'au plus une constante. On évalue en 0 les deux expressions et on montre que la constante est bien nulle.
    • 2. Exponentielle et binôme
      • a. Notations : Raphaël Bombelli (1526-1572), Simon Stevin (1548-1620), René Descartes (1596-1650), Newton. Progression géométrique 1, $a$, $a^2$ etc. Notation $a^n$. Prolongement à gauche : $-1/a^2$, $-1/a$, 1, $a$, $a^2$ etc. Notation $a^{-n}=1/a^n$. Prolongement intermédiaire : 1, $\sqrt{a}$, $a$, $a\sqrt{a}$, $a^2$ etc. Notation $a^{n/m}=\left(\sqrt[m]{a}\right)^n$. Exposants irrationnels : par interpolation. Exemple : $\sqrt2^{\sqrt7}$ est compris entre $2$ et $2\sqrt2$ et donc entre 2 et 3.
      • b. Théorème de Pascal, formule du binôme de Newton : $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k}$. Etudes anciennes : Omar Khayyam (1080), Tshu Shi Kih (1303), Michael Stifel (1544), Gerolamo Cardano (1545).
      • c. Exposants négatifs. Approximation de $(a+b)^{-1}$ par itération. Formule de Viète : $$\frac1{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots\quad\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$$
      • d. Racines carrées : algorithme de Héron (Ier siècle - Alexandrie) $\displaystyle v\mapsto \frac12\left(v+\frac2v\right)$. Exemple (Babylone, circa -1900) : $\sqrt2=1,24,51,10,\ldots$ en base 60. Al-Qalasadi (1450), Henry Briggs (1624) et Isaac Newton (1665) : approximation d'une racine carrée $$\sqrt{1+x}=1+\frac12x-\frac18x^2+\frac1{16}x^3-\frac5{128}x^4+\cdots$$ ou encore $$(1+x)^{1/2}=1+{1/2\choose 1}x+{1/2\choose 2}x^2+\cdots$$ Théorème de Newton (argument très dangereux, même si le résultat est, finalement, correct) : $$(1+x)^a=1+\frac{a}1x+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\cdots=\sum_{k\ge0}{a \choose k}x^k\;.$$ La formule est acceptée sans problème par Leonhard Euler, mais ne sera démontrée finalement que par Niels Hendrik Abel (près de deux siècles plus tard). C'est un argument d'interpolation : la formule est vraie pour $a$ entier, le coefficient de $x^k$ est un polynôme en $a$ ... donc ce polynôme convient pour tout réel $a$ !
      • e. Fonction exponentielle. Origine : question de Florimond de Beaune (1601-1652, juriste français et mathématicien amateur qui produisit la première introduction notable à la géométrie cartésienne et ayant entretenu une grande correspondance avec René Descartes). Quelle courbe est telle que la tangente et la verticale à un point coupent l'axe des abscisses en deux points écartés d'une distance fixe ? Réponse de Gottfried Wilhelm Leibniz (1684) : si $x$ s'accroit de b, alors $y$ est multiplié par une constante égale à $(1+a/b)$. C'est la même réponse que pour un calcul d'acroissement (si une quantité croit de 1/30 par an, que combien a-t-elle cru en 100 ans ?) ou pour un taux d'intérêt (avec un taux de 5% annuel, quel est le revenu au bout de N années ?). Le problème général est donc le calcul de $(1+x)^N$. Leonard Euler y répond pour $x=1/N$. Définition du nombre d'Euler : $\displaystyle e=1+\frac11+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots$, obtenu comme limite dans la formule du binôme $$\left(1+\frac1N\right)^N\simeq1+\frac{N}N\frac11+\frac{N(N-1)}{N^2}\frac1{2!}+\cdots$$ Encore une fois un argument très dangereux, qui fournit néanmoins le bon résultat ! Euler en déduit, en 1748, la fameuse formule d'Euler pour l'exponentielle : $$\exp(x)=e^x=1+\frac{x}1+\frac{x^2}{2!}+\cdots$$ grâce à l'écriture $\displaystyle\left(1+\frac{x}N\right)^N=\left(\left(1+\frac{x}{N/x}\right)^{N/x}\right)^x\simeq e^x$. Remarque : on peut, grâce à cette idée, construire effectivement la fonction exponentielle en la définissant comme limite de la quantité $\displaystyle f_n(x)=\left(1+\frac{x}N\right)^N$. Si on note $f(x)$ cette limite, on vérifie que $f$ est bien définie sur $[0;1[$, puis sur $]-1;1[$ en majorant les termes du binôme. On montre ensuite que $f_n(x)f_n(-x)$ tend vers 1 puis que $f_n(x)f_n(y)/f_n(x+y)$ tend vers 1 quand $x$ et $y$ sont dans $]-1;1[$. Cela permet de définir $f$ sur $\Rd$ en une fonction telle que $f(x)f(y)=f(x+y)$, et d'en déduire la continuité et la dérivabilité de $f$ en 0 puis partout, et enfin de vérifier $f'=f$.
  • Chapitre II : Fonctions usuelles - origine des logarithmes et des fonctions trigonométriques
    • a) Introduction aux logarithmes. Objectif : transformer les produits en sommes afin de faciliter les calculs (logos : raison, relation ; arithmos : nombre).
      • Paul Wittich (1546-1586) et Clavius (Christopher Clau, 1538-1612) ont publié Astrolabe, en 1593, une mise en œuvre des tables trigonométriques pour raccourcir les calculs. Ils utilisent l'écriture (si $x=\sin(\alpha)$ et $y=\cos(\beta)$) : $xy=\frac12(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta))$. Paul Wittich est à l'origine du système géo-héliocentrique de Tycho Brahé. Clavius, l'Euclide du XVIème siècle, adversaire du système de Copernic, il joua un rôle de premier plan dans la réforme du calendrier grégorien, ce qui fit de lui la cible de plusieurs mathématiciens, au nombre desquels François Viète.
      • Simon Stevin (1548-1620, intendant de l'armée hollandaise) : calculs d'intérêts composés.
      • 1614 : John Napier (Neper, baron écossais, 1550-1617) tables de logarithmes de sinus. Utilisées par Kepler (pour Napier l'angle varie régulièrement, mais chez Kepler c'est le sinus qui varie régulièrement : on se rapproche de la fonction logarithme). Remarque : en 1617 Neper invente les bâtons de Neper, que l'on peut utiliser au primaire pour apprendre la multiplication.
      • 1615 : Henry Briggs (1556-1630, collaborateur de Napier, professeur à Oxford) introduit le logarithme décimal.
      • 1620 : Jost Burgi (1552-1632, horloger, collaborateur de Kepler) élabore des tables de logarithmes et d'anti-logarithmes.
      • 1624 : Henry Briggs tabule le logarithme décimal et Johannes Kepler publie les "Mille logarithmes". Pour la même précision Kepler utilise 30 extractions de racines carrées tandis que Briggs en requiert 54. Kepler utilie des propriétés arithmétiques pour simplifier les calculs.
      • 1647 : Grégoire de Saint Vincent (1584-1667, jésuite) s'intéresse aux calculs d'aire et met en évidence le logarithme par quadrature de l'hyperbole. C'est Christian Huyghens (1629-1695) qui montrera qu'il s'agit du logarithme naturel.
      • 1697 : Gottfried Leibniz (1646-1716) introduit la fonction logarithme.
    • b) Logarithmes. Définition : une fonction $\ell$ de $\Rd_+^*$ dans $\Rd$ est un logarithme si elle vérifie, pour $x$ et $y$ dans $\Rd_+^*$, $\ell(xy)=\ell(x)+\ell(y)$. Propriétés élémentaires ($\ell(x/y)$, $\ell(1)$, $\ell(x^n)$, $\ell(x^r)$). Définition : s'il existe $a$ dans $\Rd_+^*$ tel que $\ell(a)=1$, on dit que $\ell$ est un logarithme de base $a$. On écrit $\log_a$. Régle d'or d'Euler : $\log_a=\log_a(b)\log_b$. Calculs de Briggs : méthode de dichotomie (extraction successive de racines carrées), i.e. si $10^{1/2^{54}}=1+a$ et $2^{1/2^{54}}=1+b$, alors $\log_{10}(2)\simeq b/a$. Méthode par interpolation (Newton). Calcul intégral : méthode de Fermat pour la quadrature des fonctions puissance. Cette méthode ne marche pas pour la fonction inverse. Par contre on peut montrer, par changement d'échelle (changement de variable) $\displaystyle\int_1^b\frac{dt}t=\int_a^{ab}\frac{dt}t$ et donc, par la relation de Chasle, $\displaystyle x\mapsto\int_1^x\frac{dt}t$ est un logarithme. On en déduit (mais il faudrait être soigneux pour le faire proprement) les formules de Mercator et de Gregory (1668) : $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\cdots$$ $$\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}3+\frac{x^5}5+\cdots\right)$$ pour $|x|\lt1$. Enfin on montre que cette formule donne le logarithme naturel, i.e. de base $e$, en considérant $\ln(f_n(x))$ qui tend vers $x$, et donc $\ln(\exp(x))=x$ (argument à préciser pour le rendre parfaitement correct). Enfin on en déduit $a^b=\exp(b\ln(a))$ pour $a\gt0$ et $b$ réel.
    • c) Introduction aux fonctions trigonométriques. Les angles sont mesurés en degrés à Babylone (360 degrés car une année comporte à peu près 360 jours). L'abbréviation $\pi$ vient de périmètre en grec et a été introduite en 1760 par William Jones (1675-1749). On mesurait initialement les angles par la corde. Les indiens (Aryabhata, 476-550, Brahmagupta, 598-668) introduisent le sinus. Nommé ardha-jiva ou jya, il est transcrit en arabe par jiba. Les européens le confondent avec jaib qui veut dire compartiment et se traduit par sinus en latin. Le cosinus vient de Kojya. Définition par les lignes du cercle, propriétés élémentaires (parité, période, demi-période, quart de période, $\sin^2+\cos^2=1$, tangente, cotangente). Théorème de Ptolémée : un quadrilatère (convexe) est inscriptible dans un cercle si et seulement si le produit de ses diagonales est égal à la somme des produits de ses côtés opposés. Démonstration du sens direct. Corollaire : formules d'addition de sinus, de cosinus et de tangente. Transformation de sommes en produits, formules pour l'angle double. Formule de De Moivre (1730) : démonstration par récurrence. Calculs de cosinus et sinus par approximations (Newton 1669, Leibniz 1691, Jacob Bernoulli 1702) : $$\cos(x)=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4+\cdots$$ $$\sin(x)=x-\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+\cdots$$
    • d) Propriétés différentielles et fonctions réciproques. Définition d'une fonction réciproque : injectivité, surjectivité, bijectivité. Étude d'exemples et de contre-exemples : exponentielle, logarithme, sinus etc. selon le domaine de définition et l'ensemble d'arrivée. Rappel du théorème de la bijection : Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone d'un intervalle $I$ de $\Rd$ sur un intervalle $J$ de $\Rd$ (i.e. $f(I)=J$ ou encore $f$ est surjective), alors $f$ est bijective et sa bijection réciproque est continue, strictement monotone, de même monotonie que $f$. On dit que $f$ est un $C^0$-difféomorphisme. Si $f$ est de plus dérivable, il en est de même pour sa réciproque : on obtient sa dérivée par symétrie par rapport à la première bissectrice (dérivée de la fonction réciproque) : $(f^{-1})'(y)=1/f'(x)$ si $y=f(x)$. Si $f$ est continûment dérivable ($f'$ continue), sa bijection réciproque l'est aussi : on dit que $f$ est un $C^1$-difféomorphisme. Exemples : $\ln$ de $\Rd_+^*$ dans $\Rd$, $\exp$ de $\Rd$ dans $\Rd_+^*$, $\sin$ de $[-\pi/2;\pi/2]$ dans $[-1;1]$, $\cos$ de $[0;\pi]$ dans $[-1;1]$, $\tan$ de $]-\pi/2;\pi/2[$ dans $\Rd$, $\cot$ de $]0;\pi[$ dans $\Rd$. Définitions de $\arcsin$, $\arccos$, $\arctg$, $\arccot$.
    • Interlude : études de fonctions. Détermination du domaine de définition, étude de la continuité domaine de dérivabilité (classe $C^n$ ou $D^n$) et calcul de la dérivée (voire des dérivées d'ordre supérieur), étude des variations (pas nécessairement en dérivant), calcul des valeurs spéciales de $f$ notamment en les extrema, détermination de tangentes particulières, étude de la convexité (au passage : définition de la convexité d'un ensemble, convexité d'une fonction par ses cordes, cas des fonctions à dérivée monotone, cas des fonctions à dérivée seconde de signe constant), limites aux bornes (asymptotes verticales, horizontales, obliques, prolongement par continuité et dérivabilité du prolongement, branches paraboliques), tracé de la courbe. Exemples d'inégalités de convexité : $\ln(1+x)\le x$, $\exp(x)\ge1+x$.
    • Reprise de d). Étude des fonctions usuelles. Logarithme : $C^\infty$-difféomorphisme, strictement croissant, strictement concave. Exponentielle : $C^\infty$-difféomorphisme, strictement croissant, strictement convexe. Fonctions puissance $\varphi_a$ ($x\mapsto x^a$) : classe $C^\infty$, $\varphi_a'=a\varphi_{a-1}$, $C^\infty$-difféomorphisme si $a\ne0$, strictement (dé)croissant pour $a\gt0$ ($a\lt0$), strictement convexe (concave) si $a\gt1$ ou $a\lt0$ ($0\lt a\lt 1$). Dérivation des fonctions du type $u(x)^{v(x)}$. Comparaison des fonctions usuelles en 0 et $\pm\infty$ : $\ln(x)^a$ est dominé par $x^b$ qui est dominé par $\exp(cx)$ en $+\infty$ pour $a$, $b$ et $c$ réels strictement positifs. Autres cas de figures. Fonctions trigonométriques : classe $C^\infty$. Fonctions réciproques, classe $C^\infty$ (sauf aux bornes) et dérivées : $\arcsin'(x)=1/\sqrt{1-x^2}$, $\arccos'(x)=-1/\sqrt{1-x^2}$, $\arctg'(x)=1/(1+x^2)$. Formules pour $\arctg(x)+\arctg(y)$, dont $\arctg(x)+\arctg(1/x)$, et développements $$\arctg(x)=x-\frac{x^3}3+\frac{x^5}5-\frac{x^7}7+\cdots$$ $$\arcsin(x)=x+\frac12\frac{x^3}3+\frac{1.3}{2.4}\frac{x^5}5+\frac{1.3.5}{2.4.6}\frac{x^7}7+\cdots$$ Formules de Leibniz (1682), de Thomas Fantet de Lagny (1719), de Leonhard Euler (1737), de John Machin (1706), de Carl Friedrich Gauss : $$\frac{\pi}4=1-\frac13+\frac15+\cdots$$ $$\pi=2\sqrt3\left(1-\frac1{3.3}+\frac1{5.3^2}-\frac1{7.3^3}+\cdots\right)$$ $$\frac\pi6=\frac12+\frac12\frac1{3.2^3}+\frac{1.3}{2.4}\frac1{5.2^5}+\cdots$$ $$\frac\pi4=\arctg\left(\frac12\right)+\arctg\left(\frac13\right)$$ $$\frac\pi4=4\arctg\left(\frac15\right)-\arctg\left(\frac1{239}\right)$$ $$\frac\pi4=12\arctg\left(\frac1{18}\right)+8\arctg\left(\frac1{57}\right)-5\arctg\left(\frac1{239}\right)$$ $$\frac\pi4=12\arctg\left(\frac1{38}\right)+20\arctg\left(\frac1{57}\right)+7\arctg\left(\frac1{239}\right)+24\arctg\left(\frac1{268}\right)$$
    • e). Fonctions hyperboliques. Définition par les lignes de l'hyperbole. Définition par l'exponentielle. Propriétés élémentaires ($\ch^2-\sh^2=1$, formules d'addition, parité, dérivées). Étude des fonctions : classe $C^\infty$, monotonie, convexité etc. Définition de $\argsh$, $\argch$ et $\argth$. Dérivées des fonctions réciproques : $\argsh'(x)=1/\sqrt{1+x^2}$, $\argch'(x)=1/\sqrt{x^2-1}$, $\argth'(x)=1/(1-x^2)$. Expressions logarithmiques : $\argsh(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$, $\argch(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$ et $\argth(x)=\frac12\ln((1+x)/(1-x))$. Remarques sur la définition géométrique. Apparition des fonctions hyperboliques : catenaire, chainette, Saint Louis gateway arch, Maison de Gaudi, Sagrada familia.
  • Chapitre III - Nombres complexes.
    • a). Introduction historique. Cardan (Ars magna, 1545), Euler, Gauss, Argand (1806). Algèbre des nombres complexes, formule d'Euler et équation différentielle $y"+y=0$, coordonnées polaires et géométrie, racines $n$-ièmes, évocation du logarithme complexe, lien avec les fonctions trigonométriques et les formules magiques sur les arctangentes.
    • b). Propriétés élémentaires des nombres complexes. Parties réelle et imaginaire, conjugué, module : propriétés élémentaires ($Re(u+v)$, $Im(u+v)$, $\overline{u+v}$, $\overline{uv}$, $\overline{\bar{u}}$, $z\bar{z}$, $(z+\bar{z})/2$, $(z-\bar{z})/2i$, $|uv|$, $|u/v|$, $|\bar{z}|$), caractérisations ($Re(z)=0$, $Im(z)=0$, $|z|=0$, $|z|=1$), compatibilité avec la valeur absolue réelle etla multiplication par un scalaire réel, inégalités ($|Re(z)|\le|z|$, $|Im(z)|\le|z|$). Inégalité triangulaire $\left||u|-|v|\right|\le|u+v|\le|u|+|v|$ et cas d'égalité.
    • c). Groupe des unités. Définition, groupe commutatif et morphisme de groupes $\Rd\to\Ud$ (surjectivité, non-injectivité, noyau), formule de De Moivre (bis), argument, argument principal, propriétés élémentaires de l'argument ($arg(uv)$, $arg(z^n)$). Caractérisation des écritures trigonométriques. Paramétrisations du cercle : complexe, trigonométrique, rationnelle (interprétation géométrique par la tangente de l'angle moitié).
    • d). Équations. Racines de l'unité (définition, somme des racines : $\sum_{k=1}^n\zeta^k=0$), polygones réguliers. Calculs de racines carrées ($x^2-y^2=a$ et $2xy=b$ puis résolution d'une équation du second degré réelle ; introduction du module : $x^2-y^2=a$, $x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}$ puis résolution de système linéaire et détermination des signes grâce à $2xy=b$). Équation du second degré complexe, relations coefficients-racines : $(X-u)(X-v)=X^2-SX+P$ avec $S=u+v$ et $P=uv$. Cas du degré quelconque : $a(X-u_1)(X-u_2)\cdots(X-u_n)=aX^n-aSX^{n-1}+\cdots+(-1)^naP$.
    • e). Plan complexe. Affixe, image, vecteur. Angle ($arg((z_3-z_1)/(z_2-z_1))$), alignement ($(z_3-z_1)/(z_2-z_1)\in\Rd$), orthogonalité ($(z_3-z_1)/(z_2-z_1)\in i\Rd$). Translations ($z\mapsto z+z_0$), symétries centrales($z\mapsto 2z_0-z$), homothéties($z\mapsto \lambda z+(1-\lambda)z_0$), rotations($z\mapsto uz+(1-u)z_0$ avec $u=\exp(i\theta)$). Similitudes directes ($z\mapsto az+b$) : décomposition en homothétie et rotation, centre éventuel, préservation des angles et des rapports de distance, transitivité. Barycentre.
    • f). Trigonométrie. Linéarisation, écriture sous forme de polynôme, cercle, disque, lignes de niveau pour $|z-a|/|z-b|$ et pour $(\widehat{\vec{MA},\vec{MB}})=\lambda$.
  • Chapitre IV - Géométrie du plan.
    • a). Repérages du plan. Notations $\cal{P}$, $\overrightarrow{P}$ et $P$. Notations $\overrightarrow{AB}=B-A$ et $B=A+\vec{u}$.
      • Coordonnées cartésiennes : colinéarité, alignement, base, repère cartésien du plan, coordonnées d'un vecteur, d'un point, coordonnées d'un barycentre, d'une combinaison linéaire, associativité du barycentre. Ecriture $(\sum_i\lambda_i)M=\sum_i\lambda_iM_i$, points pondérés. Cas où la somme des poids est nulle : vecteurs.
      • Orthogonalité et distance (géométrie euclidienne) : base orthogonale, orthonormale, directe ; repère orthogonal, orthonormal, direct ; distance entre deux points, norme d'un vecteur, inégalité triangulaire.
      • Changement de repère : changement d'origine, rotation d'axe, changement de repère orthonormé direct. Cas indirect. Cas général.
      • Coordonnées polaires : écriture $u_\theta=\cos(\theta)\vec\imath+\sin(\theta)\vec\jmath$ et $v_\theta=-\sin(\theta)\vec\imath+\cos(\theta)\vec\jmath$ ; coordonnées polaires d'un point, d'un vecteur. Unicité dans le cas d'un point distinct de l'origine et d'un vecteur non nul. Passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes et vice-versa. Acceptation de coordonnées polaires du type $(r,\theta)$ avec $r$ éventuellement négatif.
    • b). Déterminant et produit scalaire. Introduction historique (travail d'une force). Définition à partir du théorème de Pythagore, i.e. par défaut d'orthogonalité : $(u|v)=\frac12(||u+v||^2-||u||^2-||v||^2)$. Définition à partir de la formule d'Al-Kashi, i.e. par mesure de l'angle : $(u|v)=||u||.||v||.\cos(u,v)$ (dans le cas où les deux vecteurs sont non nuls). Définition à partir du déterminant, i.e. par mesure de l'aire : $\det(u,v)$ est la surface orientée du parallélogramme formé sur $u$ et $v$, i.e. $\det(u,v)=||u||.||v||\sin(u,v)$ (dans le cas où les deux vecteurs sont non nuls) et alors $(u|v)=\det(u,r(v))$ où $r$ est la rotation d'angle $\pi/2$. On a aussi $\det(u,v)=(u,r^{-1}(v))$. Propriétés générales : le produit scalaire est bilinéaire, symétrique et défini positif ; il est donné par la formule $xx'+yy'$ qui est indépendante du choix de base orthonormée ; le déterminant est bilinéaire, anti-symétrique ; il est donné par la formule $xy'-x'y$ qui est indépendante du choix de base orthonormée directe. Ecriture en complexe : $(u|v)=Re(\bar{u}v)$ et $\det(u,v)=Im(\bar{u}v)$.
    • c). Droites. Obtention de caractérisations à partir du barycentre : $\lambda A+(1-\lambda)B$, $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$. Equations paramétriques (réelles ou complexes), équation cartésienne par point et direction ($\det(u,\overrightarrow{AM})=0$ ou $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM})=0$ ou encore $Im(\bar{u}(z-a))=0$), équation cartésienne par point et normale ($(n|\overrightarrow{AM})=0$ ou $(\overrightarrow{AB}|\overrightarrow{AM})=0$ ou encore $Re(\bar{n}(z-a))=0$), équation polaire ($\theta=\theta_1$ modulo $\pi$ quand la droite passe par l'origine, $\rho=p/\cos(\theta-\theta_0)$ sinon) et interprétation de $p$, $\theta_0$ et $\theta_1$. Ecritures $ax+by+c=0$ et interprétation des vecteurs $(a,b)$, $(-b,a)$ ou $(b,-a)$. Equation normale : $x\cos(\theta)+y\sin(\theta)+c=0$.
    • d). Distances, cercles. Distance d'un point à une droite, projeté orthogonal : définition, formules $|\det(u,\overrightarrow{AM})|/||u||$, $|ax+by+c|/\sqrt{a^2+b^2}$. Lignes de niveau $(u|\overrightarrow{AM})=\lambda$ et $\det(u,\overrightarrow{AM})=\lambda$. Cercles : définition, équation cartésienne, paramétrisations, équation polaire dans le cas d'un cercle passant par l'origine. Lignes de niveau $(\overrightarrow{AM}|\overrightarrow{BM})=\lambda$. Intersection entre un cercle et une droite. Intersection de deux cercles, axe radical, droite des centres.
    • e). Angles. Angles de vecteurs (définition comme rotation), groupe des angles, mesure d'un angle. Angles de droites, mesure. Relation de Chasles, parallélisme, orthogonalité. Théorème de l'angle au centre, théorème de l'angle inscrit. Lignes de niveau pour $AM/BM$ et $(\widehat{\vec{MA},\vec{MB}})$.
  • Chapitre V - Géométrie de l'espace.
    • 1). Repérages dans l'espace. Coordonnées cartésiennes. Colinéarité et produit vectoriel (définition par les coordonnées). Coplanarité et déterminant (définition par le volume d'un parallélépipède).
    • 2). Produit vectoriel et déterminant. Étude du produit vectoriel : formules, bilinéarité, antisymétrie. Étude du déterminant : formules, trilinéarité, antisymétrie.
    • 3). Produit scalaire. Produit scalaire et lien avec le déterminant (produit mixte). Complétion d'une base orthonormée, inégalité de Cauchy-Schwarz. Formules, bilinéarité, symétrie, caractère défini positif.
    • 4). Repères. Repères cartésiens (orthonormé, direct), coordonnées polaires, coordonnées cylindriques.
    • 5). Droites et plans. Équations paramétriques et cartésiennes. Faisceau linéaire de plan : plans contenant une droite. Distance d'un point à une droite, à un plan. Perpendiculaire commune.
    • 6). Sphères. Intersection d'une sphère et d'un plan, de deux sphères. Projection d'un cercle de l'espace sur un plan.