Archives - Défis

Chaque semaine, un défi est proposé par un-e étudiant-e ou un groupe d'étudiant-e-s. Le but du jeu est de poser un défi (de nature mathématique) à l'ensemble de la classe qui soit à la fois accessible et difficile. Accessible car la solution doit pouvoir être trouvée. Difficile car le défi qui aura duré le plus longtemps durant l'année remportera ... un prix surprise !

2009-2010

DéfiOrigineÉnoncé du défiSolutionOrigineRéponse
19/03/10AdrienSoit $n$ un entier naturel pair, supérieur à 2. Un déterminant de taille nxn est à remplir par deux joueurs, A (qui veut un déterminant non nul, commence) et B (qui veut un déterminant nul). Ils ont le droit de mettre n'importe quel réel dans une case vide du déterminant, chacun leur tour. Trouver une stratégie gagnante pour B.02/04/10 - 2 semaines Il suffit de faire en sorte qu'une colonne soit identique (ou un multiple) d'une autre.
05/03/10BastienCombien de figures convexes peut-on faire avec un jeu de Tangram ?19/03/01 - 2 semainesLucLuc prétend qu'il y en a 13, ce qui est la bonne réponse, mais la stratégie ne semble pas clairement établie.
12/02/10PierreComment joindre une île carrée au milieu d'un lac carré avec deux planches légèrement trop petites pour faire un pont ?12/02/10 - qq minutesBastienUne planche en coin et une autre en appui dessus.
12/02/10Willy, Bastien, Jérôme, Xavier, Aubin, Colas, PierreComment transformer VI=II en ne déplaçant qu'une allumette, et sans barrer le signe =, de sorte à avoir une vraie égalité ?12/02/10 - qq minutesAlain$\sqrt1=1$ (ou XI=11).
05/02/10XavierDonner une méthode pour savoir si la matrice associée à un Sudoku est inversible ou pas. Les compter.19/03/10 - 1 mois et demiBastienA permutation près des colonnes, lignes, dans un bloc ou entre blocs, des chiffres de 1 à 9, et à rotation près du carré, il n'y en a qu'un (affirmation non démontrée), et on en trouve donc $2(3!)^89!$.
05/02/10LucTrois aventuriers sont capturés par des cannibales. On leur présente 7 bandeaux, 2 de couleur rouge, 2 de couleur blanche et 3 de couleur verte. Puis on les ceint chacun d'un bandeau autour de la tête sans qu'ils puissent savoir la couleur de leur bandeau. On les interroge alors : "Pouvez-vous donner une couleur qui n'est pas celle de votre bandeau ?". S'ils le peuvent, ils doivent le faire sous peine d'être mangé. S'ils ne le peuvent pas, ils doivent se taire toujours sous peine d'être mangé. Le premier se tait, le second aussi. Que fait le troisième ?12/02/10 - 1 semaineValentinIl dit rouge ou blanc au choix, car le premier ne voit pas deux bandeaux de même couleur et le second ne se tait que s'il ne voit pas de rouge, ni du blanc sur le troisième.
22/01/10ValentinQuinze aventuriers sont capturés par des cannibales. On les aligne en file indienne et on leur met une plume dans les cheveux. La file est ainsi faite que chacun voit les plumes de ceux qui sont devant lui, mais évidemment pas celles de ceux qui sont derrière, ni la sienne. Les cannibales mettent une plume blanche ou noire à chacun. Ils interrogent ensuite le dernier de la file et lui demande la couleur de sa plume, puis ils interrogent l'avant-dernier, et ainsi de suite jusqu'au premier. Les aventuriers n'ont droit qu'à une seule erreur, s'ils se trompent deux fois ou plus, ils serviront de repas ... Comment doivent-ils procéder ?22/01/10 - 4hLucLe premier aventurier à parler annonce blanc ou noir selon qu'il voit un nombre pair ou impair de plumes blanches devant lui. Le suivant regarde également la parité du nombre de plumes blanches qu'il voit. Si c'est la même que ce qu'a vu le premier à parler, il dit noir, sinon il dit blanc. Les suivants font de même en comptant la parité du nombre de plumes blanches qu'ils voient et qui ont été annoncées par tous ceux qui les précèdent, sauf le premier, et la compare à ce qu'a annoncé le premier. La seule et unique erreur possible a lieu lors de la première déclaration.
08/01/10Mehdi, Olivier, DamienOn se donne un grand disque de rayon 1 et trois petits disques de rayon $r$. Pour quelle valeur de $r$ y a-t-il une unique façon de recouvrir le grand disque avec les trois petits (unique à rotation près de l'ensemble, et échange des petits disques) ?08/01/10 - 30mnMatthieuLes diamètres des petits disques doivent former un triangle équilatéral inscrit dans le grand disque. On a alors $\displaystyle r=\frac{|1-j|}2=\sin\left(\frac{\pi}3\right)=\frac{\sqrt{3}}2$.
18/12/09XavierUne fois correctement complétée cette page contient exactement 219 lettres et 52 chiffres et plus précisément : ? fois le chiffre 1, ? fois le chiffre 2, ? fois le chiffre 3, ? fois le chiffre 4, ? fois le chiffre 5, ? fois le chiffre 6, ? fois le chiffre 7, ? fois le chiffre 8, ? fois le chiffre 9, ? le chiffre 0. 8x8=64. 8x5=40.7x8=56.6x8=48. 3x3=9. 33=27.1x4+1=5.22/01/10 - 1 mois et 4 joursAdrien et LucUne fois correctement complétée cette page contient exactement 219 lettres et 52 chiffres et plus précisément : 4 fois le chiffre 1, 5 fois le chiffre 2, 5 fois le chiffre 3, 9 fois le chiffre 4, 7 fois le chiffre 5, 4 fois le chiffre 6, 4 fois le chiffre 7, 8 fois le chiffre 8, 4 fois le chiffre 9, 2 fois le chiffre 0. 8x8=64. 8x5=40.7x8=56.6x8=48. 3x3=9. 33=27.1x4+1=5.
18/12/09Sophie, Étienne, AdrienDans un champ situé au sud du nord-ouest de l'est alsacien, on a trois chevals et une chèvre (attention sans corne). Sachant que le champ de 120 736 mm sur 44132 dm est entouré d'une clôture blanche, branchée sur du 220,36 volt; que le vent souffle (parce qu'il n'a rien d'autre à faire) du Nord-Ouest au Nord-Ouest, à la vitesse de -25 mm/m; et que les poissons de l'abreuvoir du champ d'à côté ont les quatre fers en l'air; question: combien y a-t-il au maximum d'ours polaire dans le champ ?   
4/12/09LucCombien faut-il prendre de nombres entre 1 et 25 de façon que, quelque soit le tirage, on puisse fabriquer un carré parfait en en multipliant deux parmi eux ?11/12/09 - 1 semaineBastienOn regroupe les nombre à multiplication par un carré près : (1,4,9,16,25), (2,8,18), (3,12), (5,20), (6,24) et tous les autres sont seuls. La pire situation est celle où on prend un élément de chacun de ces ensembles, soit 5 parmi les cinq ensembles précédents et les 11 singletons, soit 16 en tout. Il faut donc prendre 17 nombres pour être sûr(e) de pouvoir former un carré parfait en en multipliant deux entre eux.
4/12/09BastienOn se donne la suite 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211 ... quand apparait le premier 4 ?6/12/09 - 2 joursLucPour qu'il y ait un 4, il faut quatre nombres identiques, disons $a$ au coup précédent mais alors on n'a pas compté les $a$ correctement : si c'était x fois $a$, a fois $a$ et a fois $y$, on aurait dû compter $x+a$ fois le chiffre $a$; et si c'était a fois $a$ et a fois $a$, il aurait fallu compter $2a$ fois le chiffre $a$. En fait on peut démontrer que si la suite s'écrit $a_1a_2\ldots a_n$ alors $a_{2k}$ et $a_{2k+2}$ sont nécessairement distincts pour tout $k$, et donc la plus longue suite de chiffres identiques est $a_{2k-1}a_{2k}a_{2k+1}$.
6/11/09Adrien et LucOn se donne un entier $n$ quelconque supérieur à 2. Combien de points au minimum faut-il dessiner pour que l'on puisse les relier entre eux par des segments (qui peuvent se chevaucher) de telle sorte que : chaque point soit relié à $n$ autres exactement ; il n'y ait aucun triangle de dessiné.4/12/09 - 4 semainesBastienOn y parvient avec $2n$ points répartis en deux paquets égaux et reliant chacun des points d'un paquet à ceux de l'autre paquet.
23/10/09FrançoisPrenez des carrés, tous pareils, et posez les sur la table. Faites en sorte que chaque coin d'un carré se superpose avec un coin d'un des autres carrés. Au final chaque carré doit avoir au plus un sommet en commun avec un des autres carrés, mais tous les sommets doivent être communs à exactement deux carrés. Avec combien de carrés y parvenez-vous ?6/11/09AdrienOn y parvient avec 8 carrés. En prendre deux $C_1$ et $C_2$ orientés dans des directions différentes. Poser $C_1$ et dessinez $C_2$ en chacun des sommets de $C_1$. Les sommets de ces 4 copies de $C_2$ forment quatre carrés identiques à $C_1$, les dessiner ... C'est terminé ! Si on prend $C_2$ tourné de $45°$ par rapport à $C_1$, on obtient une figure basée sur un octogone régulier ... C'est un octochore, c'est-à-dire la projection d'un hypercube de dimension 4 sur notre plan habituel.
16/10/09EddyOn a une table carrée de 1m de côté, blanche. On répand dessus de la peinture noire au hasard. Montrer qu'il y a deux points de la table, séparés de 80cm, qui sont tous les deux de la même couleur.18/10/09 - 2 joursBastienOn considère un triangle équilatéral dessiné sur la table, de côté 80cm. Deux de ses trois sommets sont de la même couleur.
09/10/09LucIl y a quatre personnes au mess. Le sergent a 43 ans, l'adjudant 44 ans et l'officier 35 ans. Quel est l'âge du capitaine ?10/10/09 - 1 jourEddyL'âge du capitaine est de 36 ans ! L'unité de l'âge est une suite arithmétique de raison 1, tandis que la somme des chiffres de l'âge est égale au nombre de lettres du grade.
02/10/09BastienOn part de trois carrés 2x2 mis côte à côte et on empile dessus deux rectangles 2x3, de sorte à faire un grand rectangle 4x6. La figure ainsi obtenue s'interprète comme des barrières joignant les divers sommets consécutifs des petits carrés/rectangles. On compte donc 16 barrières. Comment faire passer une corde par ces barrières de sorte que : chaque barrière est franchie une fois et une seule, la corde ne se recoupe pas elle-même ?10/10/09 - 8 joursMatthieuC'est impossible. Si on compte le nombre des frontières à traverser en venant de chacune des six régions (en comptant la région extérieure), on trouve : 4, 4, 5, 5, 5 et 9. Or une corde entrant dans une région et qui en ressort franchit 2 frontières et donc si une région n'abrite pas un bout de la corde, elle doit être séparée des autres par un nombre pair de frontières. Comme il n'y a que deux bouts à une corde, il ne peut y avoir qu'au plus deux régions ayant un nombre impair de frontières avec les autres. Ce n'est pas le cas ici donc ce défi est impossible à réaliser.
02/10/09LucComment traverser un échiquier en partant d'un sommet d'une diagonale et en arrivant à l'autre sommet avec les règles suivantes : le déplacement est horizontal ou vertical, une fois qu'on est passé dans une case on ne peut plus y revenir, on doit passer par toutes les cases ?02/10/09 - 10 mnThibautOn sort de la case départ et on y re-rentre tout de suite. Ensuite on serpente facilement jusqu'à la sortie !
25/09/09MatthieuSi $S$ est la fonction qui à un nombre associe la somme de ses chiffres, que vaut $S(S(S(2009!)))$ ?15/10/09 - 20 joursBastienLa somme des chiffres d'un multiple de 9 est un multiple de 9. Comme 2009 est inférieur à $10^4$, tout comme tous les nombres qui lui sont inférieurs, $2009!$ est inférieur à $10^{4*2009}$ et a donc moins de $8036$ chiffres. $S(2009!)$ est donc inférieur à $9*8036=72354$ et a donc moins de 5 chiffres. Donc $S(S(2009!))$ est inférieur à $9*5=45$ et, comme pour tout multiple de 9 inférieur à 90, sa somme des chiffres est égale à 9.
18/09/09Bastien19151221200915??18/09/09 - 10 mnRomain??=14, le mot mystère est SOLUTION codé avec A=1, B=2 etc.
11/09/09ClaireOn se donne un morceau de moquette carré, de côté 10m. On veut s'en servir pour recouvrir une pièce de rectangulaire de 9m par 12m ayant en son centre un bar rectangulaire de 1m par 8m (à 4m de chacun des côtés en largeur, et à 2m de chacun des côtés en longueur). Comment faire en découpant seulement deux pièces superposables ?25/09/09 - 14 joursRaphaëlPartir du coin supérieur droit et couper : de 1 vers le bas puis de 2 vers la gauche, le tout quatre fois, puis couper de 6 vers la droite, puis recommencer la première étape. Les deux pièces sont superposables et en décalant celle de droite de 2 vers la droite et 1 vers le haut, on obtient la pièce rectangulaire.
04/09/09RaphaëlDémontrer \(\displaystyle\frac{cheval}{oiseau}=\pi\).04/09/09 - 2 mnEddyOn a, par commutativité de la multiplication, cheval=che.va.l=vache.l. De plus oiseau=bête à ailes=\(\beta\).l. Par conséquent on peut simplifier par l et ainsi le rapport cherché vaut vache/\(\beta\). Or vache= bête à pis=\(\beta\pi\), il vient donc, en simplifiant par \(\beta\), \(vache/\beta=\pi\), d'où l'assertion cherchée.

 

2010-2011

DéfiOrigineÉnoncé du défiSolutionOrigineRéponse
11/09/10Arthur CCompléter la suite 2, 3, 2, 5, 7, 2, 3, 11, 13, 2, 1713/09/10Laurent19,23,5, 3, 29, 31, 2 ... Ce sont les facteurs premiers nécessaires pour écrire successivement tous les nombres entiers.
12/09/10XavierUn ours part d'un point du globe terrestre, marche 20km vers le sud, 40km vers l'est et 20km vers le nord. Il est alors revenu à son point de départ.
  1. Quelle est la couleur de l'ours ?
  2. Exprimez la surface délimitée par le trajet de l'ours en fonction du rayon de la terre.
  3. Sans calculatrice et sans utiliser la valeur exacte du rayon de la terre, donnez une valeur approchée de cette surface.
26/09/10Margaux
  1. L'ours est blanc puisque ce périple n'est possible qu'au pôle Nord.
  2. Une calotte sphérique à la co-latitude $\theta$ est de surface $2\pi R^2(1-\cos(\theta))$ et donc une portion de calotte sphérique délimité par un angle $\theta'$ en longitude est de surface $\theta'R^2(1-\cos(\theta))$ avec $\theta=20/R$ et $\theta'=40/R\sin(\theta)$.
  3. Comme $R$ est grand devant 40 et 20, on a $R\sin(\theta)\simeq R\theta=20$ et $R^2(1-\cos(\theta))\simeq(R\theta)^2/2=200$, donc $\theta'\simeq2$ et on trouve donc environ $400 km^2$.
08/01/11Xavier

Trouver toutes les fonctions continues de $\Rd$ dans lui-même qui vérifient

$\forall(x,y)\in\Rd^2$, $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))$.