Archives - Cours

2009-2010

  • Algèbre
  • Analyse
  • Géomètrie
SemaineExercices demandés, suggérés ou traités en cours
24/05-29/05inégalité triangulaire pour la norme $||.||_p$, théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\Rd^n$, théorème des compacts emboités, théorèmes de Weierstrass et de Heine dans $\Rd^n$, étudier $t\mapsto\int_0^1f(x,t)dx$ pour $f(x,t)=tx/(x^2+t)^2$ si $t\ne0$ et $f(x,0)=0$, produits scalaires $tr({}^tMN)$ sur $M_n(\Rd)$ et $\sum P(x_k)Q(x_k)$ sur $\Rd_n[X]$
18/05-22/05suite de Fibonacci, suite $u_{n+2}+u_n=0$, suite $u_{n+2}=4u_{n+1}-4u_n$, suite $u_{n+1}=\frac{u_n+1}{u_n+2}$, suite $u_{n+1}=\frac{3u_n-1}{u_n+1}$, vitesse de convergence de la méthode de la fausse position.
10/05-15/05Abscisse curviligne associée à l'arc $\displaystyle\left(\Rd,t\mapsto\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)\right)$, Abscisse curviligne pour une cardioïde, Centre de courbure d'un cercle, développée d'une ellipse (courbe de Lamé obtenue par affinité à partir d'une astroïde), développée d'une spirale logarithmique
03/05-07/05 Théorème du prolongement de la dérivée, sans utiliser la règle de L'Hospital., Solution sur $\Rd$ de $|x|y'+3y=1/(1+x^2)$, Étude de la fonction $x\exp(x/(x^2-1))$.
05/03-09/04 Quelques cas de compatibilité de la dérivabilité à la structure d'algèbre.
Inégalités de Hölder et de Minkowski (notamment pour $p=2$).
29/03-02/04L'intégrabilité et l'intégrale ne changent pas si on modifie une fonction en un nombre fini de points.
22/03-26/03Étude de la solution de $x+\ln(x)=n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Limite $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(e^{2/\sqrt{n}})^2/(\ln(1+1/n^3).((n+1)^3-n^3))$.

Quelques cas de compatibilité de la continuité à la structure d'algèbre.
15/03-19/03Quelques cas de compatibilité de la limite ou de la divergence vers $\pm\infty$ à la structure d'algèbre.
Définition du logarithme en base $b$ par les bornes supérieures.
Moyenne arithmético-harmonique : convergence vers la moyenne géométrique.
08/03-12/03Écrire la définition de la divergence.
Déduire le passage à la limite des inégalités larges du passage à la limite de la valeur absolue.
01/03-05/03Décomposition sur $\Cd$, $\Rd$ et $\Zd$ de $X^n-1$ (polynômes cyclotomiques).
Calculs des puissances cinquièmes des racines (inconnues) d'un polynôme de degré 3, d'un polynôme dont les racines sont les carrés des précédentes.
01/02-05/02Exercice 2 de la feuille 13.
25/01-29/01Exercices 6 et 8 de la feuille 10.
18/01-22/01Calcul de la signature grâce au nombre d'orbites : $\varepsilon(\sigma)=(-1)^{n-\omega}$ où $\omega$ est le nombre d'orbites sous $\sigma$, i.e. le nombre d'ensembles différents de la forme $\{i,\sigma(i),\sigma^2(i),\ldots\}$.
14/12-18/12Recherche de familles libres, liées, génératrices sur un exemple de quatre vecteurs de $\Rd^3$.
07/12-11/12Équivalence entre la préservation des combinaisons linéaires et celle des deux lois (interne et externe).
30/11-04/12Correction du DS n°4 et du DL n°3, notamment calculs de $\displaystyle\int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2}dx$ et $\displaystyle\int \frac{dx}{(2+\cos(x))(3+\cos(x))}$.
23/11-27/11Classe fermée par le préfet pour cause de grippe.
16/11-20/11Résolution de $y"-3y'+2y=0$, de $y"+y=0$ et de $y"-4y'+4y=0$.
09/11-13/11Exercices 1, 2 et 5 de la feuille de TD n°6.
19/10-23/10Exercices 1 et 4 de la feuille de TD n°5.
Exercices 5, 12 et 13 demandés en DL.
12/10-16/10Montrer que $(a,b)\mapsto ab$ est bilinéaire symétrique définie positive sur $\Rd$.
05/10-09/10Obtention d'une équation de la droite $(AB)$ via $det(\vec{AM},\vec{AB})=0$.
Écriture la médiatrice.
Obtention d'un vecteur normal et d'un vecteur directeur à partir d'une équation cartésienne.
Écriture en complexe des équations des cercles-droites, du produit scalaire, du déterminant.
28/09-02/10Écriture de la symétrie axiale par rapport à une droite passant par $z_0$ et de vecteur directeur d'affixe $u=e^{i\theta}$ ($z\mapsto z_0+ e^{2i\theta}(\overline{z}-\overline{z_0})$).
Calcul des racines carrées des sommets et milieu du carré de diagonale $((1,1),(-1,-1))$.
Écriture de l'équation $\displaystyle Arg\left(\frac{z-b}{z-a}\right)=\lambda$ sous la forme $|z-u-iv\cot(\lambda)|^2=|v|^2/\sin^2(\lambda)$ et $\sin(\lambda)Im\left(\frac{z-u}v\right)\gt0$. Interprétation comme l'intersection d'un cercle et d'un demi-plan. Lien avec le théorème de l'angle inscrit et la paramétrisation par la cotangente du cercle unité ($e^{i\theta}=(x+i)/(x-i)$ avec $x=\cot(\theta/2)$).
21/09-25/09Formule logarithmique pour les fonctions hyperboliques inverses.
Formule d'addition pour $\tanh$. Écriture complexe d'un symétrie axiale orthogonale plane.
14/09-18/09Calcul de l'aire sous \(t^a\) par la méthode de Fermat (rectangles de longueur \(\theta^k-\theta^{k+1}\)) et démonstration qu'une primitive de \(1/t\) est un logarithme.
Formules de Riccati pour les fonctions hyperboliques et obtention de l'équation de la chainette (méthode physique).
07/09-11/09Théorème de Pappus (démonstration de Descartes)
Somme des entiers, de leurs carrés etc. par la méthode des différences de Newton
Formule d'Euler pour \(\sqrt2\) : approximation à partir de l'égalité \(\displaystyle\frac12=\frac{5^2}{7^2}\left(1-\frac1{50}\right)\) et développement de \((1-x)^{-1/2}\)
Si \(f(x+y)=f(x)f(y)\), alors \(f(x)=f(1)^x\) pour \(x\) rationnel.

Montrer \(\Delta^ny_0=\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}y_{n-k}\).
02/09-04/09Résolution géométrique du théorème de Morley