Brevet de "Développement limité"

Chaque jour, il est proposé de calculer trois développements limités en 15 minutes. L'obtention du brevet est soumise à la réussite du calcul de trois de ces développements limités : un numéro 1, un numéro 2 et un numéro 3. Tant que le brevet n'est pas obtenu, les épreuves continuent chaque jour en début de cours.

Développements limités

  • Niveau 1
    • Déterminer $\displaystyle \lim_{x\to0^+}(\cos(x))^{\ln(x)}$.
    • DL d'ordre 3 en 0 de : $(x^3+1)\sqrt{1-x}$.
    • DL d'ordre 3 en 0 de : $(x^3+1)\sqrt{1-x^2}$.
    • DL d'ordre 3 en 0 de : $\displaystyle\frac1{1-x^3}\sqrt{1-4x^3}$.
    • DL d'ordre 3 en 0 de : $\displaystyle(1-x^3)\ln(1-4x^2)$.
    • DL d'ordre 5 en 0 de : $\displaystyle\cos\left(\arcsin(t)\right)$.
    • DL d'ordre 5 en 0 de : $\exp(\sin(t)/t)-\exp(\sin(t)/t)$.
    • DL d'ordre 2 en 0 de : $\displaystyle\frac{\sin(x)-1}{1+\cos(x)}$.
    • DL d'ordre 3 en 0 de : $\cos(x)\ln(1+x)$.
    • Déterminer un équivalent simple en $+\infty$ de $\exp\left(\frac1x\right)-\frac{x(x+1)}{1+x^2}$.
  • Niveau 2
    • Déterminer la limite en 0 de : $\displaystyle\frac{2x}{\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}-\cos(x)$.
    • DL d'ordre 2 en 0 de : $\displaystyle\ln\left(\alpha^t+\beta^t\right)$.
    • DL d'ordre 2 en 0 de : $\displaystyle(x^9-4x^7+11x^5-x^3-x^2+1)\sqrt{1+x}$.
    • DL d'ordre 2 en 0 de : $\displaystyle(x^9+4x^7+11x^5-3x^3-x+1)\sqrt{1+2x^2}$.
    • DL d'ordre 3 en 0 de : $\displaystyle \frac{1+x^2}{3+x}$.
    • DL d'ordre 3 en $\pi/4$ de :$\displaystyle\sqrt{\tan(t)}$.
    • DL d'ordre 6 en 0 de : $\sin(x)\cos(2x)$.
    • DL d'ordre 3 en 0 de : $\displaystyle (1+x)^{1/x}$.
    • DL d'ordre 3 en 0 de : $\displaystyle (1+\tan(x))^{1/x}$.
    • DL d'ordre 2 en 0 de : $\displaystyle\sqrt{1+\sqrt{1+t}}$.
    • Trouver un équivalent simple en $0$ de : $\displaystyle \frac1{\sin(x)}-\frac1{\sinh(x)}$.
    • Trouver un équivalent simple en $0$ de : $\displaystyle \frac1{\ln(1+x)}-\frac1{x}$.
    • Trouver un équivalent simple en $0$ de : $\displaystyle \frac1{\ln(1-x)}-\frac1{\tan(x)}$.
    • DL d'ordre 3 en 0 de : $\displaystyle\argsh\left(\exp(t)\right)-\exp\left(\argsh(t)\right)$.
    • Trouver un équivalent simple en 0 de : $\tan(\sin(t))-\sin(\tan(t)))$.
    • DL d'ordre 4 en $0$ de : $\sin(\ln(1+t))-\ln(1+\sin(t))$.
    • Soit $f(x)=\sin(x-x^2)$. Déterminer un DL d'ordre 3 en 0 de : $f(2x)-f(x)$.
  • Niveau 3
    • Limite éventuelle en 2 de : $\displaystyle\frac{2^t-t^2}{\log_2(t)-\log_t(2)}$.
    • Donner un équivalent simple en 0 de : $\displaystyle\exp(\arcsin(x))-\ln\left(\frac{e}{1-x}\right)$.
    • DL d'ordre 7 en 0 de : $\tan(t)$.
    • DL d'ordre 7 en 0 de : $\tanh(t)$.
    • DL d'ordre 3 en 0 de : $\displaystyle\frac1t\ln\left(\cosh(t)\right)$.
    • DL d'ordre 2 en 0 de : $\displaystyle \left(1+\arctan(x)\right)^{x/\sin(x)}$.
    • DL d'ordre 2 en 0 de : $\displaystyle \left(1+\arctan(x)\right)^{x/\sin^2(x)}$.
    • DL d'ordre 2 en 0 de : $\displaystyle \left(1+\tan(x)\right)^{x/\sin^2(x)}$.
    • DL d'ordre 3 en $\pi/4$ de :$\displaystyle\left(\tan(t)\right)^{\tan(2t)}$.
    • DL d'ordre 4 en $0$ de : $\displaystyle\ln\left(\frac{\cosh(\sqrt{t})}{\cos(\sqrt{t})}\right)$.
    • DL d'ordre 4 en 0 de : $\displaystyle\ln\left(\frac{1+\sin(x)}{\cos(x)}\right)$.
    • DL d'ordre 5 en 0 de : $\exp(\sin(t)/t)$.
    • DL d'ordre 5 en 0 de : $\exp(\sin(t)/t)-\exp(t/\sin(t))$.
    • Déterminer la limite en 0 de : $\displaystyle\frac{\sin(\sinh(x))-\sinh(\sin(x))}{\tan(\tanh(x))-\tanh(\tan(x))}$.
    • DL d'ordre 3 en 0 de : $\exp(\arcsin(x))$.
    • DL d'ordre 4 en 0 de : $\displaystyle x\left(\cosh(x)\right)^{1/x}$.
    • DL d'ordre 3 en 0 de : $\displaystyle\sinh(x)-\ln\left(\tan\left(\frac{x}2+\frac{\pi}4\right)\right)$.

Titulaires du Brevet 2009/2010

  1. Lara (11 mai)
  2. Adrien, Louis, Margot (12 mai)
  3. Alain, Aubin, Claire, Eddy (14 mai)
  4. Antoine LD, Bastien, Damien, Jérôme, Léo, Luc, Marc, Marie et Marie, Matthieu, Raphaël, Thibaut, Valentin, Vincent, Willy (15 mai)
  5. Alice, Guillaume D, Lucie, Solène, Sophie (17 mai)
  6. Guillaume L (19 mai)
  7. Antoine P, Colas, Étienne, Florian, Justine, Mehdi, Olivier, Romain, Xavier (20 mai)
  8. Géraldine (25 mai)
  9. Sabrina, Victoria, Pierre (26 mai)

Titulaires du Brevet 2010/2011

  1. Quentin (9 mai)
  2. Julien Ca (11 mai)
  3. Mahana (13 mai)
  4. Camille, Laurent, Rémy, Sébastien, Steven, Thomas (16 mai)
  5. Alexandre C, Hugo, Pierre (18 mai)
  6. Alexandre M, Antoine, Clément C, Estelle, Florian, Margaux, Patrick (19 mai)
  7. Frédéric (20 mai)
  8. Alexis, Anthony, Arthur C, Aurélien, Célia, Claire, Clément S, Coline, Jean-Thomas, Julia, Julien Co, Lauren, Marc, Maëlle, Maud, Simon (20 mai)
  9. Arthur CE, Hélène, Loubna (23 mai)
  10. Audrey, Marine, Thibault, Xavier (26 mai)
  11. Ludovic (30 mai)