Semaine 18

Semaine 18

  • (Abdelhaq Abdelqari - 18.1) - Soit $n\in\Nd^{*}$, $x_1$, $\ldots$, $x_n$ $n$ réels deux à deux distincts. On considère alors la famille de polynômes $ (L_{i})_{1 \leq i\leq n}$ définie par : $ \forall i\in[1, n]$, $\displaystyle L_{i}= \prod_{i=1}^{n} \frac {X-x_{k}}{x_{i} - x_{k}} k\neq i$. Pour $ i \in[1,n]$, déterminer le degré de $ L_{i} $, les racines de $ L_{i} $ et $ L_{i}(x_{i})$. Démontrer que : $ \sum_{j=1}^{n} L_{j} = 1 $. Soit $P$ un polynôme de $ \Rd_{n-1}[X] $. Démontrer que $P = \sum_{j=1}^{n} P(x_{j})L_{j} $.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 18.2.1) - Déterminer le reste de la division euclidienne de A par B dans les cas suivants: $A=X^n$ et $B=X^2-3X+2$, $A=X^n$ et $B=(X-1)^2$, $A=X^{2^{n+p}}+1$ et $B=X^{2^{n}}+1$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 18.2.1) - Soit $P\in\Kd[X]$ un polynôme non constant. montrer que $P-1$ divise $P^k-1$ pour tout entier $k$ non nul. Soit $n$ et $m$ deux entiers naturels non nuls. Posons $n=qm+r$ la division euclidienne de $n$ par $m$. Montrer que le reste de la division euclidienne de $X^n-1$ par $X^m-1$ est $X^r-1$. En déduire que $X^m-1$ divise $X^n-1$ si et seulement si $m$ divise $n$. Montrer que $(X^n-1)\wedge (X^m-1)=(X^{n\wedge m}-1)$
  • (Abdelhaq Abdelqari - 18.3.1) - On pose $A=X^4+X^3-3X^2-4X-1$ et $B=X^3+X^2-X-1$. En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer le PGCD de A et de B ainsi que les coefficients de Bézout de A et B. Déterminer tous les polynômes U et V de $\Rd[X]$ tels que $AU+BV=(X+1)(X+2)$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 18.3.2) - On considère deux polynômes : $A=X^2+X+1$ et $B=X^{2n}+X^n+1$. Déterminer les valeurs de l'entier naturel n pour lesquelles A divise B.
  • (Anthony Maxilaris - 18.1.1) - Reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$ en fonction de $P(a)$ et $P'(a)$.
  • (Anthony Maxilaris - 18.1.2) - Soit $a$ et $b$ deux racines distinctes de $z^3+3z^2+z+1$. Calculer $a^2b+ab^2+3ab$.
  • (Anthony Maxilaris - 18.1.3) - Soit $A$, $B$, $C$ dans $\Cd[X]$ tels que $A\wedge B=1$. Montrer $A\wedge C=A\wedge (BC)$.
  • (Anthony Maxilaris - 18.2) - Reste de la division euclidienne de $(X\cot(t)+\sin(t))^n$ par $X^2+1$.
  • (Anthony Maxilaris - 18.3) - Soit $A$ et $B$ dans $\Kd[X]$ non nuls. Montrer $A\wedge B=1\Leftrightarrow (A+B)\wedge AB=1$.
  • (Antoine Pichoff - 18.1.1) - Dans quel cas le polynôme $x^3+px+q$ est-il divisible par $x^2+mx-1$.
  • (Antoine Pichoff - 18.1.2) - Trouver une relation entre les coefficients de l'équation de $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$, pour exprimer que le produit de deux racines est égale à celui des deux autres. Montrer que l'on peut alors résoudre cette équation en la divisant par $x^2$ et en faisant la substitution $y=x+\frac{c}{ax}$. Résoudre $x^4+2x^3+2x^2+10x+25=0$.
  • (Antoine Pichoff - 18.2.1) - Effectuer la division euclidienne de $4x^3+x^2$ par $x+1+i$.
  • (Antoine Pichoff - 18.2.2) - Trouver le polynôme de degré le plus petit tel que : $\forall i\in\Nd_n$, $P(i)=\frac{1}{i}$.
  • (Antoine Pichoff - 18.3.1) - Utiliser le procédé d'Hörner pour calculer $P(4)$ si $P(X)=X^4-3X^3+6X^2-10X+16$. Pourquoi est-ce plus rapide ?
  • (Antoine Pichoff - 18.3.2) - Déterminer le polynôme de degré le plus petit donnant comme reste $2x$ lors de la division par $(x-1)^2$ et $3x$ lors de la division par $(x-2)^3$.
  • (Antoine Pichoff - 18.4.1) - Dans quel cas le polynôme $x^4+px^2+q$ est-il divisible par $x^2+mx+1$.
  • (Antoine Pichoff - 18.4.2) - Soit $n\in \Nd$. Considérons $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n\in\Kd$, distincts. On note pour tout $i\in\Nd$, $s_i=\sum_{k=0}^n a_k^i$ et $f_i=\sum_{j_1\neq j_2\dots \neq j_i}a_{j_1}a_{j_2}\dots a_{j_i}$ ($i\leq n$). Exprimer $s_3$ et $f_3$. Démontrer $\displaystyle s_k=\left|\begin{array}{ccccc}f_1&1&0&\cdots&0\\ 2f_2&f_1&1&\ddots &0\\ \vdots&f_2&\ddots&\ddots &\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&f_1 &1\\ kf_k&f_{k-1}&\cdots&f_2 &f_1\\\end{array}\right|$.
  • (Antoine Pichoff - 18.5.1) - En utilisant la formule de Taylor, développer le polynôme $P=X^5$ selon les puissances de $X-1$. Que pensez-vous de ce résultat ?
  • (Antoine Pichoff - 18.5.2) - Quel est le plus grand commun diviseur de $X^n-1$ et $X^m-1$ ? De même pour $X^n+a^n$ et $X^m+a^m$.
  • (Antoine Pichoff - 18.6.1) - Déterminer $a$ de manière à ce que $X^5-aX^2-aX+1$ ait $(-1)$ comme racine avec une multiplicité supérieure à $2$.
  • (Antoine Pichoff - 18.6.2) - Trouver une relation entre les coefficients de l'équation de $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$, pour exprimer que la somme de deux racines est égale à celle des deux autres. Montrer que l'on peut alors résoudre cette équation en la transformant en une équation bicarrée en posant $y=x-\frac{a}{4}$. Résoudre $x^4+2x^3+3x^2+2x-3=0$.
  • (Bertrand des Abbayes - 18.1.1) - Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $(X-1)^3$ divise $nX^{n+2}-(n+2)X^{n+1}+(n+2)X-n$ dans $\Kd[X]$.
  • (Bertrand des Abbayes - 18.1.2) - Résoudre $(X^2+1)P"-6P=0$ dans $\Kd[X]$.
  • (Bertrand des Abbayes - 18.1.3) - Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $\sum_{k=0}^nX^k/k!$ est simplement scindé sur $\Cd[X]$.
  • (Bertrand des Abbayes - 18.2.1) - Soit $X^3+2X-1=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$ dans $\Cd[X]$. Calculer $x_1^4+x_2^4+x_3^4$.
  • (Bertrand des Abbayes - 18.2.2) - Soit $P$ et $Q$ deux polynômes de $\Kd[X]$ premiers entre eux. Montrer $(P^2+Q^2)\wedge PQ=1$. Que se passe-t-il si $P\wedge Q\ne1$ ?
  • (Bertrand des Abbayes - 18.3.1) - Soit $P=X^3+2X-1$ dans $\Cd[X]$, calculer $s_4=\sum_{i=1}^3x_i^4$.
  • (Bertrand des Abbayes - 18.3.2) - Soit $P$, $Q$ et $D$ trois polynômes non nuls de $\Kd[X]$, avec $D$ irréductible, tels que $D$ divise $PQ$ et $P^2+Q^2$, montrer $D\in\Kd^*$.
  • (Didier Robbes - 18.1) - Trouver tous les polynômes $P$ et $Q$ à coefficients réels tels que, pour tout réel $a$, $P(a)$ est racine de $X^3+Q(a)X^2+(a^4+1)X+a^3+a$.
  • (Didier Robbes - 18.2) - Soit $A_n=1-X^n+X^{2n}-X^{3n}+X^{4n}$. Trouver les entiers $n$ tels que $A_1$ divise $A_n$.
  • (Didier Robbes - 18.3.1) - Montrer que $(X^2+X+1)^2$ divise $(X+1)^{6n+1}-X^{6n+1}-1$.
  • (Didier Robbes - 18.3.2) - Montrer que $P-X$ divise $P\circ P-X$ dans $\Kd[X]$.
  • (Françoise Gillardeau - 18.1) - Soit $n\in\Nd^*$ et $a\in\Rd$. Déterminer les racines complexes de $(X+1)^n-e^{2ina}$. En déduire $\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}n+a\right)=\frac{\sin(na)}{2^{n-1}}$.
  • (Françoise Gillardeau - 18.2) - Soit $A_n=1-X^n+X^{2n}-X^{3n}+X^{4n}$. Trouver les entiers $n$ tels que $A_1$ divise $A_n$.
  • (Françoise Gillardeau - 18.3) - Décomposer $P=(1+iX/n)^n-(1-iX/n)^n$ en produit de polynômes irréductibles de $\Cd[X]$.
  • (François Sauvageot - 18.1) - Soit $A$, $B$ dans $\Kd[X]$, montrer $A\wedge B=1\Leftrightarrow (A+B)\wedge AB=1$.
  • (François Sauvageot - 18.2.1) - Soit $a$ et $b$ deux racines distinctes de $z^3+3z^2+z+1$. Calculer $a^2b+ab^2+3ab$.
  • (François Sauvageot - 18.2.2) - Soit $P$ un polynôme à coefficients réels et $V(P)$ le nombre de changements de signes dans la suite de ses coefficients (en ignorant les 0). Montrer que le nombre de racines positives de $P$ est majoré par $V(P)$ et a la même parité.
  • (François Sauvageot - 18.3) - Soit $P$ un polynôme dont les seuls coefficients non nuls valent 1 ou $-1$. On suppose que toutes les racines de $P$ sont réelles, montrer que son degré est inférieur à 3.
  • (Jacques Paris - 18.1) - Soit $A$ et $B$ dans $\Kd[X]$ non nuls. Montrer $A\wedge B=1\Leftrightarrow (A+B)\wedge AB=1$.
  • (Jacques Paris - 18.2) - Soit $P$ dans $\Kd[X]$. Montrer que $P-X$ divise $P\circ P-P$ et aussi $P\circ P-X$.
  • (Jacques Paris - 18.3) - Soit $a$, $b$ et $c$ distincts dans $\Kd$ et $\displaystyle P=\frac{X(X-b)(X-c)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{X(X-c)(X-a)}{b(b-c)(b-a)}+\frac{X(X-a)(X-b)}{c(c-a)(c-b)}$. Montrer $P=\lambda(X-a)(X-b)(X-c)+1$ avec $\lambda$ dans $\Kd$ à déterminer.
  • (Jean-Louis Liters - 18.1) - Résoudre sur $\Cd$, $x^2+y^2+z^2=x^4+y^4+z^4=x^5+y^5+z^5-2=0$.
  • (Jean-Louis Liters - 18.2) - Trouver $P$ tel que $P(X+1)-P(X)=X(X+1)\cdots(X+99)$.
  • (Jean-Louis Liters - 18.3) - Trouver les polynômes $P$ de $\Rd[X]$ tels que $P'|P$.
  • (Jean-Michel Rey - 18.1.1) - Trouver les polynômes $P$ de $\Rd[X]$ tels que $(X+1)|P$ et les restes de la division euclidienne de $P$ par $X+2$, $X+3$ et $X+4$ sont les mêmes.
  • (Jean-Michel Rey - 18.1.2) - Racines et multiplicités de $X^8+2X^6+3X^4+2X^2+1$.
  • (Jean-Michel Rey - 18.2) - Soit $A$ et $B$ dans $\Kd[X]$. Montrer $A^2|B^2\Rightarrow A|B$.
  • (Jean-Michel Rey - 18.3) - Soit $Q_p=\frac1{2i}\left(\left(1+\frac{ix}{2p}\right)^{2p}-\left(1-\frac{ix}{2p}\right)^{2p}\right)$. Montrer que $Q_p$ appartient à $\Rd[X]$, donner son degré, sa valuation et ses racines. En déduire $\prod_{k=1}^{p-1}\tan\left(\frac{k\pi}{2p}\right)$.
  • (Mohammed Laadnani - 18.1.1) - Soit $P\in\Kd[X]$. Montrer $P(X+1)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}P^{(n)} (X)$.
  • (Mohammed Laadnani - 18.1.2) - Soit $P(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0\in\Cd[X]$. Montrer que si $\xi$ est racine de $P$ alors $|\xi|\leq 1+\max_{0\leq k\leq n-1}|a_k|$.
  • (Mohammed Laadnani - 18.2) - Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\Kd[X]$. Montrer que $P - X$ divise $P \circ P - X$.
  • (Mohammed Laadnani - 18.3) - Soit $n$, $m\in\Nd^\star$. Calculer $\textrm{pgcd} (X^n - 1,X^m - 1)$.
  • (Philippe Skler 18.1) - Factoriser $P=X^5-13X^4+67X^3-171X^2+216X-108$ sachant qu'il possède une racine triple.
  • (Philippe Skler 18.2) - Trouver les polynômes P tels que $(X+3)P(X)=XP(X+1)$.
  • (Véronique Bluteau - 18.1.1) - Résoudre dans $\Rd[X]$, $X(X+1)P"+(X+2)P'-P=0$.
  • (Véronique Bluteau - 18.1.2) - Résoudre dans $\Cd[X]$, $P(2X)=P'P"$.
  • (Véronique Bluteau - 18.2) - Trouver tous les polynômes de $\Rd[X]$ tels que $(X+4)P=XP(X+1)$.
  • (Véronique Bluteau - 18.3) - Trouver tous les polynômes réels tels que $P(0)=P(1)=P'(1)=1$ et $P'(0)=0$.