Semaine 16

Semaine 16

  • (Abdelhaq Abdelqari - 16.1.1) - Calculer le déterminant $P_n(x)=\left|\begin{array}{ccccc}x+1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 2 & x+2 & 2 & \ldots & 2 \\ 3 & 3 & x+3 & \ldots & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & n & \ldots & x+n\end{array}\right|$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 16.1.2) - Soit $a$ et $b$ deux réels distincts et $n\in\Nd^*$. On note $D_n$ le déterminant d'ordre $n$ : $\displaystyle D_n=\left|\begin{array}{cccc}a + b & b & \ldots & b \\ a & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & b \\ a & \ldots & a & a + b\end{array}\right|$. Montrer $\forall n\in\Nd^*$, $\Delta_n=\left|\begin{array}{cccc}b & b & \ldots & b \\ a & a + b & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & b \\ a & \ldots & a & a + b\end{array}\right|=b^n$. En utilisant la linéarité du déterminant, établir une relation de récurrence entre $D_n$ et $D_{n-1}$. On pose pour $n\in\Nd^*$, $u_n=(a-b)D_n+b^{n+1}$ , montrer que la suite $(u_n)_{n\geq1}$ est géométrique et en déduire $u_n$ puis $D_n$ en fonction de $n$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 16.2.1) - Calculer le déterminant : $\left|\begin{array}{cccc}a & a & a & a \\ a & b & b & b \\ a & b & c & c \\ a & b & c & d \end{array}\right|$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 16.2.2) - Soit $ n\geq 1$, calculer $D_n=\left|\begin{array}{cccc}1 & \ldots & \ldots & 1 \\ \vdots & \ddots &0 & \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots & \vdots \\ 1 & \ldots & \ldots & 1 \end{array}\right|$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 16.3.1) - $a$, $b$, $c$ et $d$ étant quatre réels non nuls. Calculer le déterminant de la matrice $M=\left(\begin{array}{cccc}1 & a & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c & c^{2} & c^{3} \\ 1 & d & d^{2} & d^{3} \end{array}\right) $.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 16.3.2) - Pour $ 1\leq k \leq n$, on pose $\displaystyle S_k=\sum_{i=1}^ki=\frac{k(k+1)}{2}$. Déterminer $\displaystyle D =\left|\begin{array}{ccccc}S_{1} & S_{1} & S_{1} & \cdots & S_{1} \\ S_{1} &S_{2} & S_{2} & \cdots & S_{2} \\S_{1} & S_{2} & S_{3} & \cdots & S_{3} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\S_{1} & S_{2} & S_{3} & \cdots & S_{n}\end{array}\right|$.
  • (Anthony Maxilaris - 16.1) - Calcul du déterminant $\displaystyle\left|\begin{array}{cccc}s_1&s_1&\cdots&s_1\\ s_1&s_2&\cdots&s_2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\s_1&s_2&\cdots&s_n\end{array}\right|$ où $s_k=\sum_{1\le i\le k}i$.
  • (Anthony Maxilaris - 16.2) - Soit $(a_i)_{1\le i\le n}$ des complexes. Calculer $\det(a_{\max(i,j)})$. En déduire $\det(\max(i,j))$ et $\det(\min(i,j))$.
  • (Anthony Maxilaris - 16.3) - Calculer $\displaystyle\left|\begin{array}{cccc}a&c&c&b\\c&a&b&c\\c&b&a&c\\b&c&c&a\end{array}\right|$ et $\displaystyle\left|\begin{array}{cccc}a_1&a_2&\cdots&a_n\\&\ddots&\ddots&\vdots\\&&\ddots&a_2\\(a_1)&&&a_1\end{array}\right|$.
  • (Antoine Pichoff - 16.1.1) - Soit $a$, $b$, $c$, $d$ dans $\Rd$. Calculer $\displaystyle\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\a+b&b+c&c+d&d+a\\a^2+b^2&b^2+c^2&c^2+d^2&d^2+a^2\\a^3+b^3&b^3+c^3&c^3+d^3&d^3+a^3\end{array}\right|$.
  • (Antoine Pichoff - 16.1.2) - On note $D_n$ le déterminant de la matrice de taille $n$, dont la diagonale est constituée de $\sqrt3$ et dont les sur- et sous-diagonales sont formées de 1. Établir une relation de récurrence entre $D_n$, $D_{n-1}$ et $D_{n-2}$. En déduire $D_n$. On pourra montrer que $D_{n+1}-e^{i\pi/6}D_n$ définit une suite géométrique.
  • (Antoine Pichoff - 16.2) - Pour $n\in\Nd^*$ et $(x_1,\ldots,x_n)$ des complexes, on note $V_n(x_1,\ldots,x_n)$ le déterminant de la matrice telle que $a_{ij}=x_i^{j-1}$. Exprimer simplement $V_2$ et $V_3$. Montrer $V_n=\prod_{i\lt j}(a_j-a_i)$. En déduire que $(X+a_1)^{n-1}$, ... $(X+a_n)^{n-1}$ sont linéairement indépendants si et seulement si les $x_i$ sont deux à deux distincts.
  • (Antoine Pichoff - 16.3.1) - Calculer $\det A$ où $A=(a_{i,j})$ d'ordre $4$ avec $a_{i,j}=(i+j)^2$. Et si elle est d'ordre $3$ ? Et si $a_{i,j}=(i+j)^3$ ?
  • (Antoine Pichoff - 16.3.2) - On note $SL_n(\Kd)$, l'ensemble des matrices de $GL_n(\Kd)$ de déterminant égal à $1$. Montrer que $SL_n(\Kd)$ est un groupe. Donner des éléments simples de $SL_n(\Kd)$ (mais pas l'identité). Montrer que ce groupe est engendré par le produit des matrices de transvections.
  • (Antoine Pichoff - 16.4.1) - Calculer $\displaystyle\left|\begin{array}{ccccc}x&a&b&0&c\\0&y&0&0&d\\0&e&z&0&f\\g&h&k&u&l\\0&0&0&0&v\\\end{array}\right|$.
  • (Antoine Pichoff - 16.4.2) - On dit que $A$ est antisymétrique, si elle vérifie ${}^tA=-A$. Donner une telle matrice d'ordre $3$ (avec au plus $3$ zéros). Calculer sont déterminant. Montrer que si $A$ est antisymétrique d'ordre $n$, avec $n$ impair, alors $\det A=0$.
  • (Antoine Pichoff - 16.5) - Calculer $\displaystyle\left|\begin{array}{ccc}\sin(\alpha)&\sin(2\alpha)&\sin(3\alpha)\\\sin(\beta)&\sin(2\beta)&\sin(3\beta)\\\sin(\gamma)&\sin(2\gamma)&\sin(3\gamma)\end{array}\right|$ pour $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ dans $\Rd$.
  • (Antoine Pichoff - 16.6.1) - Soit $a$, $b$, $c$, $d$, $x$, $y$, $z$, $x'$, $y'$ et $z'$ dans $\Kd$. Montrer $\displaystyle\left|\begin{array}{cccc}a&x&y&z\\b&x&y&z\\a&x'&y'&z'\\b&x'&y'&z'\end{array}\right|=0$.
  • (Antoine Pichoff - 16.6.2) - Soient $A\in{\cal M}_n(\Rd)$ et $B\in{\cal M}_p(\Rd)$. On définit $C=A\otimes B\in{\cal M}_{n\times p}(\Rd)$ par $\forall i,j\in\Nd_{n\times p}$, $c_{i,j}=a_{q_1,q_2}b_{r_1,r_2}$ où $i-1=(q_1-1)\times p+(r_1-1)$ et $j-1=(q_2-1)\times p+(r_2-1)$ (divisions euclidiennes). Calculer $C=A\otimes B$ si $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{array}\right)$. Exprimer $\det(C)$ en fonction de $\det A$ et de $\det B$. Généraliser la formule.
  • (Bertrand des Abbayes - 16.1) - Résoudre $MX=B$ pour $M$ dans ${\cal M}_4(\Rd)$ de diagonale $a$ et dont les autres termes sont égaux à 1 et $B$ le vecteur colonne n'ayant que des 1.
  • (Bertrand des Abbayes - 16.2) - Soit $(x,y,z)$ dans $\Rd^3$ tels que $x^2+y^2+z^2=1$ et $\displaystyle M=\left(\begin{array}{ccc}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{array}\right)$ et $P=I_3+M^2$. Montrer $P^2=P$.
  • (Bertrand des Abbayes - 16.3) - Soit $e_1=(1,-2,1)$, $e_2=(0,1,-2)$ et $e_3=(-1,3,1)$ dans $\Rd^3$. Montrer qu'ils forment une base de $\Rd^3$. Donner la matrice du projecteur sur $\Rd e_1$ parallèlement à l'espace engendré par $(e_2,e_3)$ dans la base canonique de $\Rd^3$.
  • (Didier Robbes - 16.1.1) - Soit $A=(a_{i,j})$ définie par $a_{i,j}=a+b$ si $i=j$, $a_{i,j}=a$ si $i\gt j$ et $a_{i,j}=b$ si $i\lt j$. Calculer son déterminant.
  • (Didier Robbes - 16.1.2) - Soit $n\ge1$. Montrer que s'il existe $A$ et $B$ dans $GL_n(\Rd)$ tels que $AB+BA=0$ alors $n$ est pair. En donner un exemple pour $n=2$.
  • (Didier Robbes - 16.2.1) - À quelle condition sur $A$ dans ${\cal M}_n(\Cd)$, l'ensemble Com(A) des $B$ dans ${\cal M}_n(\Cd)$ tels que $AB=BA$ est-il un corps ? On pourra s'intéresser aux matrices $A-\lambda I_n$.
  • (Didier Robbes - 16.2.2) - Décrire, pour $n\ge1$, l'ensemble des $A$ dans ${\cal M}_n(\Cd)$ vérifiant $\forall M\in{\cal M}_n(\Cd)$, $\det(A+M)=\det(A)+\det(M)$.
  • (Didier Robbes - 16.3.1) - Soit $A=(a_{i,j})$ définie par $a_{i,j}=|i-j|$. Calculer son déterminant.
  • (Didier Robbes - 16.3.2) - Calculer $\displaystyle\left|\begin{array}{cccc}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{array}\right|$ sachant $\det(x_i^j)=\prod_{i\lt j}(x_i-x_j)$.
  • (Françoise Gillardeau - 16.1) - Soit $A_{n,p}$ la matrice carrée de ${\cal M}_{n+1}(\Cd)$ de terme général $\displaystyle a_{i,j}={i+j+p\choose i}$. Calculer son déterminant.
  • (Françoise Gillardeau - 16.2) - Soit $I_n$ la matrice unité et $E_n$ la matrice carrée d'ordre $n$ dont tous les termes sont égaux à 1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(a,b)\in\Rd^2$ pour que $aI_n+bE_n$ soit inversible.
  • (Françoise Gillardeau - 16.3) - Soit $A=(a_{i,j})$ définie par $a_{i,j}=|i-j|$. Calculer son déterminant.
  • (François Sauvageot - 16.1) - Montrer que deux matrices réelles conjuguées dans ${\cal M}_n(\Cd)$ sont conjuguées dans ${\cal M}_n(\Rd)$.
  • (François Sauvageot - 16.2) - Pourquoi le système linéaire associé à la matrice $\displaystyle\left(\begin{array}{ccc}1&1/2&1/3\\1/2&1/3&1/4\\1/3&1/4&1/5\end{array}\right)$ est-il instable numériquement ?
  • (François Sauvageot - 16.3) - Calculer le rang de $\displaystyle\left(\begin{array}{cccc}1&n+1&0&2n\\n&0&1&1\\2n+1&1&n+1&1\\0&0&n+1&n+1\end{array}\right)$ en fonction du paramètre $n$.
  • (Jacques Paris - 16.1) - Soit $A=(a_{i,j})$ définie par $a_{i,j}=a+b$ si $i=j$, $a_{i,j}=a$ si $i\gt j$ et $a_{i,j}=b$ si $i\lt j$. Calculer son déterminant en établissant un relation de récurrence.
  • (Jacques Paris - 16.2.1) - Résoudre $1665x+1035y=45$ dans $\Zd$.
  • (Jacques Paris - 16.2.2) - Calcul de $\displaystyle D=\left|\begin{array}{cccc}1&-2&0&3\\-1&3&1&2\\2&-4&-1&-1\\3&-3&0&4\end{array}\right|$.
  • (Jacques Paris - 16.3) - Calculer sous forme factorisée $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}a&c&c&b\\c&a&b&c\\c&b&a&c\\b&c&c&a\end{array}\right|$.
  • (Jean-Louis Liters - 16.1) - Calculer $\det(\cos(a_i-b_j))$.
  • (Jean-Louis Liters - 16.2.1) - Calculer $\det([n+i-j]_n)$ où le crochet indique qu'on prend une valeur entre 1 et $n$ et congrue modulo $n$.
  • (Jean-Louis Liters - 16.2.2) - Calculer $\det((-1)^{i+j}a_{ij})$ en fonction de $\det(a_{ij})$.
  • (Jean-Louis Liters - 16.3) - Résoudre, via les déterminants, $x+y+z-1=ax+by+cz-d=a(a-1)x+b(b-1)y+c(c-1)z-d(d-1)=0$.
  • (Jean-Michel Rey - 16.1.1) - $a\wedge b=1\Rightarrow a\wedge(a+b)=b\wedge(a+b)=1\Rightarrow ab\wedge(a+b)=1$.
  • (Jean-Michel Rey - 16.1.2) - Calcul pratique d'un PGCD par l'algorithme d'Euclide.
  • (Jean-Michel Rey - 16.2) - Soit $r$ un rationnel tel qu'il existe $n$ dans $\Nd^*$ vérifiant $r^n\in\Zd$. Montrer $r\in\Zd$.
  • (Jean-Michel Rey - 16.3) - Trouver tous les entiers $x$ et $y$ tels que $(x\wedge y)+(x\vee y)=x+y$.
  • (Mohammed Laadnani - 16.1) - Calculer en établissant une relation de récurrence $\displaystyle D_n=\left|\begin{array}{cccc}2&1&\cdots&1\\1&3&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\1&\cdots&1&n+1\end{array}\right|$.
  • (Mohammed Laadnani - 16.2) - Calculer en établissant une relation de récurrence : $\displaystyle D_n=\left|\begin{array}{cccc}0&1&\cdots&1\\1&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\1&\cdots&1&0\end{array}\right|$.
  • (Philippe Skler 16.1) - Soient A et B deux matrices carrées réelles . Montrer que $det\left(\begin{array}{cc} A&B\\B&A\end{array}\right)=det(A+B)det(A-B)$.
  • (Philippe Skler 16.2) - Calculer le déterminant d'ordre $2n$ ($n\in\Nd^{\ast }$), $$\delta_n=\det\left(\begin{array}{cccccc}a_1&0&0&b_1&0&0\\0&\ddots&0&0&\ddots&0\\0&0&a_n&0&0&b_n\\c_1&0&0&d_1&0&0\\0&\ddots&0&0&\ddots&0\\0&0&c_n&0&0&d_n\end{array}\right)$$ où $\left( a_{i}\right) $ $\left( b_{i}\right) $ $\left(c_{i}\right) $ et $\left( d_{i}\right) $ sont des complexes.
  • (Philippe Skler 16.3.1) - Donner une expression factorisée du déterminant de $\left(\begin{array}{cccc} a & b & b & -a \\ a & -b & b & a \\ b & a & a & -b \\ b & -a & a & b \end{array}\right)$
  • (Philippe Skler 16.3.2) - Soit $A=\left( a_{ij}\right) \in \mathcal{M}_{n}\left(\Cd\right) $ . Pour $z\in\Cd$ on pose $B\left( z\right) $ la matrice dont les coefficients sont $b_{ij}=a_{ij}+z$. Montrer que l'application $z\mapsto \det \left( B\left( z\right) \right) $ est polynomiale de degré inférieur ou égal à $1$.
  • (Véronique Bluteau - 16.1) - Soit $a_1$, $a_2$, $a_3$, $b_1$, $b_2$, $b_3$ des réels quelconques. Calculer le déterminant de $(\delta_{ij}+a_ib_j)_{1\le i,j\le3}$. Généraliser à $n\gt3$.
  • (Véronique Bluteau - 16.2) - Étant donné $a$, $b$, $c$ des réels non nuls, on considère les plans d'équations respectives $(a+b)^2x+c^2y+c^z=0$, $a^2x+(b+c)^2y+c^2z=0$ et $b^2x+b^2y+(a+c)^2z=0$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ces plans aient en commun le seul vecteur nul.
  • (Véronique Bluteau - 16.3) - Soit $a_1$, $a_2$, $a_3$, $b_1$, $b_2$, $b_3$ des complexes quelconques. Montrer que le déterminant de $(a_i-b_j)_{1\le i,j\le3}$ est toujours nul.