Semaine 15

Semaine 15

  • (Abdelhaq Abdelqari - 15.1.1) - Matrice circulante. La matrice $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\4 & 1 & 2 & 3 \\3 & 4 & 1 & 2 \\2 & 3 & 4 & 1 \end{array}\right)$ est-elle inversible ?
  • (Abdelhaq Abdelqari - 15.1.2) - Pour $ 1\leq k \leq n$, on pose $\displaystyle S_k=\sum_{i=1}^ki=\frac{k(k+1)}{2}$. Déterminer $\displaystyle D =\left|\begin{array}{ccccc}S_{1} & S_{1} & S_{1} & \cdots & S_{1} \\ S_{1} &S_{2} & S_{2} & \cdots & S_{2} \\S_{1} & S_{2} & S_{3} & \cdots & S_{3} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\S_{1} & S_{2} & S_{3} & \cdots & S_{n}\end{array}\right|$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 15.2.1) - Dans $\Rd^4$, on pose $u_1=(1,- 2, -1, -1)$, $u_2=(2,-a,a,-3)$, $u_3=(a,-1,2,-1)$ et $u_4=(-2,-3,2,1)$ où $a\in\Rd$ est un paramètre.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 15.2.2) - Soit $a$ et $b$ deux réels distincts et $n\in\Nd^*$. On note $D_n$ le déterminant d'ordre $n$ : $\displaystyle D_n=\left|\begin{array}{cccc}a + b & b & \ldots & b \\ a & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & b \\ a & \ldots & a & a + b\end{array}\right|$. Montrer $\forall n\in\Nd^*$, $\Delta_n=\left|\begin{array}{cccc}b & b & \ldots & b \\ a & a + b & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & b \\ a & \ldots & a & a + b\end{array}\right|=b^n$. En utilisant la linéarité du déterminant, établir une relation de récurrence entre $D_n$ et $D_{n-1}$. On pose pour $n\in\Nd^*$, $u_n=(a-b)D_n+b^{n+1}$ , montrer que la suite $(u_n)_{n\geq1}$ est géométrique et en déduire $u_n$ puis $D_n$ en fonction de $n$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 15.3.1) - Calculer le déterminant : $\left|\begin{array}{cccc}a & a & a & a \\ a & b & b & b \\ a & b & c & c \\ a & b & c & d \end{array}\right|$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 15.3.2) - Soit $ n\geq 1$, calculer $D_n=\left|\begin{array}{cccc}1 & \ldots & \ldots & 1 \\ \vdots & \ddots &0 & \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots & \vdots \\ 1 & \ldots & \ldots & 1 \end{array}\right|$.
  • (Anthony Maxilaris - 15.1) - Recherche de l'ordre d'une permutation à l'aide de cycles.
  • (Anthony Maxilaris - 15.2) - Calcul d'un déterminant et relation de récurrence.
  • (Anthony Maxilaris - 15.3) - Calcul d'un déterminant et relation de récurrence.
  • (Antoine Pichoff - 15.1) - Soit $a$, $b$, $c$, $d$ dans $\Rd$. Calculer $\displaystyle\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\a+b&b+c&c+d&d+a\\a^2+b^2&b^2+c^2&c^2+d^2&d^2+a^2\\a^3+b^3&b^3+c^3&c^3+d^3&d^3+a^3\end{array}\right|$.
  • (Antoine Pichoff - 15.2) - Pour $n\in\Nd^*$ et $(x_1,\ldots,x_n)$ des complexes, on note $V_n(x_1,\ldots,x_n)$ le déterminant de la matrice telle que $a_{ij}=x_i^{j-1}$. Exprimer simplement $V_2$ et $V_3$. Montrer $V_n=\prod_{i\lt j}(a_j-a_i)$. En déduire que $(X+a_1)^{n-1}$, ... $(X+a_n)^{n-1}$ sont linéairement indépendants si et seulement si les $x_i$ sont deux à deux distincts.
  • (Antoine Pichoff - 15.3) - Calculer le déterminant de la matrice dont les coefficients sont nuls à l'exception du coefficient $(1,1)$ et des coefficients $(i,n+2-i)$ qui valent tous $a$.
  • (Antoine Pichoff - 15.4.1) - Calculer le déterminant de la matrice dont les coefficients sont nuls à l'exception du coefficient $(1,1)$ et des coefficients $(i,n+2-i)$ qui valent tous $a$.
  • (Antoine Pichoff - 15.4.2) - Quelle relation existe-t-il entre $\det((-1)^{i+j}a_{i,j})$ et $\det(a_{i,j})$ ?
  • (Antoine Pichoff - 15.5.1) - Calculer $\displaystyle\left|\begin{array}{ccc}\sin(\alpha)&\sin(2\alpha)&\sin(3\alpha)\\\sin(\beta)&\sin(2\beta)&\sin(3\beta)\\\sin(\gamma)&\sin(2\gamma)&\sin(3\gamma)\end{array}\right|$ pour $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ dans $\Rd$.
  • (Antoine Pichoff - 15.5.2) - Montrer que si $M$ est inversible le déterminant de sa comatrice est $\det(M)^{n-1}$. Que se passe-t-il si $M$ n'est pas inversible ?
  • (Antoine Pichoff - 15.6.1) - Soit $a$, $b$, $c$, $d$, $x$, $y$, $z$, $x'$, $y'$ et $z'$ dans $\Kd$. Montrer $\displaystyle\left|\begin{array}{cccc}a&x&y&z\\b&x&y&z\\a&x'&y'&z'\\b&x'&y'&z'\end{array}\right|=0$.
  • (Antoine Pichoff - 15.6.2) - On note $D_n$ le déterminant de la matrice de taille $n$, dont la diagonale est constituée de $\sqrt3$ et dont les sur- et sous-diagonales sont formées de 1. Etablir une relation de récurrence entre $D_n$, $D_{n-1}$ et $D_{n-2}$. En déduire $D_n$. On pourra montrer que $D_{n+1}-e^{i\pi/6}D_n$ définit une suite géométrique.
  • (Bertrand des Abbayes - 15.1) - Calculer le déterminant de $\displaystyle\left(\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&1\\-1&2&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&-1&2\end{array}\right)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 15.2) - Soit $M$ dans ${\cal M}_4(\Rd)$ dont tous les termes valent 1 sauf sur la diagonale où ils valent $a$, pour un certain $a$ de $\Rd$. Quel est son déterminant ? Résoudre $MX=B$ si $B$ est le vecteur colonne n'ayant que des 1.
  • (Bertrand des Abbayes - 15.3.1) - Calculer le déterminant de la matrice ayant une diagonale formée d'un 1 et que des 0 ensuite, dont le bloc supérieur n'a que des 1 et le bloc inférieur des $-1$.
  • (Bertrand des Abbayes - 15.3.2) - Calculer le déterminant de $\displaystyle\left(\begin{array}{ccc}1&a&a^2\\ \bar{a}&1&a\\\bar{a}^2&\bar{a}&1\end{array}\right)$ pour $a$ dans $\Cd$.
  • (Didier Robbes - 15.1.1) - Soit $\sigma\in{\mathfrak S}_{12}$ donnée par (7 1 5 12 6 3 9 4 2 11 8 10). Déterminer le nombre d'inversions et la parité de $\sigma$. La décomposer en produit de transpositions, en produit de cycles à supports disjoints.
  • (Didier Robbes - 15.1.2) - Décrire, pour $n\ge1$, l'ensemble des $A$ dans ${\cal M}_n(\Cd)$ vérifiant $\forall M\in{\cal M}_n(\Cd)$, $\det(A+M)=\det(A)+\det(M)$.
  • (Didier Robbes - 15.2) - À quelle condition sur $A$ dans ${\cal M}_n(\Cd)$, l'ensemble Com(A) des $B$ dans ${\cal M}_n(\Cd)$ tels que $AB=BA$ est-il un corps ? On pourra s'intéresser aux matrices $A-\lambda I_n$.
  • (Didier Robbes - 15.3.1) - Déterminer les signatures de la permutation de $n$ éléments envoyant $i$ sur $n+1-i$ et de la permutation de $2n$ éléments envoyant $i$ sur $2i$ ou $2(i-n)+1$ selon qu'il est inférieur à $n$ ou non.
  • (Didier Robbes - 15.3.2) - Calculer $\displaystyle\left|\begin{array}{cccc}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{array}\right|$ sachant $\det(x_i^j)=\prod_{i\lt j}(x_i-x_j)$.
  • (Françoise Gillardeau - 15.1) - Calculer le déterminant de la matrice d'ordre $n$ dont la diagonale est égale à $1+x^2$ et les sous- et sur-diagonales sont égales à $x$.
  • (Françoise Gillardeau - 15.2) - Calculer le déterminant de la matrice d'ordre $n$ dont les coefficients sont donnés par $a_{ij}=\sup(i,j)$.
  • (Françoise Gillardeau - 15.3) - Soit $(a_1,\ldots,a_n)\in\Cd^n$. Résoudre à l'aide d'un déterminant le système $x_1+x_2-2a_1=\ldots=x_{n-1}+x_n-2a_{n-1}=x_n+x_1-2a_n=0$.
  • (François Sauvageot - 15.1.1) - Calculer $\displaystyle\left|\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&1\\-1&2&&\\0&\ddots&\ddots&\\&&-1&2\end{array}\right|$.
  • (François Sauvageot - 15.1.2) - Calculer la signature de (1 3 5 7)(2 6 8).
  • (François Sauvageot - 15.2) - Calculer $\det(x_i^j)$ pour $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ des réels.
  • (François Sauvageot - 15.3) - Montrer que l'ensemble des matrices de la forme $\displaystyle\left(\begin{array}{cc}a&2b\\b&a\end{array}\right)$ avec $a$ et $b$ rationnels, est un corps.
  • (Jacques Paris - 15.1.1) - Soit $\displaystyle D=\left|\begin{array}{cccc}4&5&7&3\\1&9&8&9\\6&0&5&2\\7&9&5&6\end{array}\right|$. Sachant que 4573, 1989, 6052 et 7956 sont divisibles par 17, montrer que $D$ l'est aussi.
  • (Jacques Paris - 15.1.2) - Montrer que le déterminant d'une matrice antisymétrique d'ordre impair est nul.
  • (Jacques Paris - 15.2.1) - Décomposition en produits de cycles, de transpositions et signature de $\displaystyle\left(\begin{array}{cccccccccccc}1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\7&1&5&12&6&3&9&4&2&11&8&10\end{array}\right)$.
  • (Jacques Paris - 15.2.2) - Résoudre $D(x)=0$ pour $x$ réel et $\displaystyle D(x)=\left|\begin{array}{ccc}x+2&2x+3&3x+4\\2x+3&3x+4&4x+5\\3x+5&5x+8&10x+17\end{array}\right|$.
  • (Jacques Paris - 15.3) - Calculer sous forme factorisée $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}a&c&c&b\\c&a&b&c\\c&b&a&c\\b&c&c&a\end{array}\right|$.
  • (Jean-Louis Liters - 15.1) - Calculer $\det(1+x_iy_j)$.
  • (Jean-Louis Liters - 15.2) - Calculer $\det((-1)^{i+j}a_{ij})$ en fonction de $\det(a_{ij})$.
  • (Jean-Louis Liters - 15.3) - Déterminer les matrices carrées $A$ d'ordre $n$ telles que $\forall M\in{\cal M}_n(\Cd)$, $\det(A+M)=\det(A)+\det(M)$.
  • (Jean-Michel Rey - 15.1) - Calculer sous forme factorisée $\displaystyle\left|\begin{array}{ccc}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{array}\right|$.
  • (Jean-Michel Rey - 15.2) - Montrer que $F=\{f~:~x\mapsto e^xP(x)$, $P\in\Rd_n[X]\}$ est un espace vectoriel. Montrer que la dérivation est un endomorphisme de $F$ et calculer son déterminant.
  • (Jean-Michel Rey - 15.3) - Calculer $\displaystyle\left|\begin{array}{cccc}a&c&c&b\\ c&a&b&c\\ c&b&a&c\\ b&c&c&a\end{array}\right|$.
  • (Mohammed Laadnani - 15.1) - Soit $a_1,\ldots,a_n\in\Cd$. Calculer $\det(a_{\max (i,j)} )$. En déduire $\det (\max (i,j))$ et $\det (\min (i,j))$.
  • (Mohammed Laadnani - 15.2) - Soit $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n\in\Kd$. Calculer $\displaystyle\left|\begin{array}{cccc}{a_1 }&{a_2}&\cdots&{a_n }\\{} & \ddots & \ddots & \vdots \\{} & {} & \ddots & {a_2 } \\{(a_1 )} & {} & {} & {a_1 }\end{array}\right|$.
  • (Mohammed Laadnani - 15.3) - Soit $V=\left\{x\mapsto\mathrm{e}^xP(x)\mid P\in\Rd_n\left[ X \right]\right\}$. Montrer que $V$ est un sous-espace vectoriel de $\Rd^{\Rd}$ dont on déterminera la dimension. Montrer que l'application $D$ : $f \mapsto f'$ est un endomorphisme de $V$ dont on calculera le déterminant.
  • (Philippe Skler 15.1) - Soient A et B deux matrices carrées réelles telles que AB=BA. Montrer que $det(A^2+B^2)\geq 0$.
  • (Philippe Skler 15.2) - Déterminant de l'application qui à une matrice $M$ associe $AM$.
  • (Philippe Skler 15.3) - Trouver $A\in\mathcal{M}_n(R)$ telle que $\forall M\in\mathcal{M}_n(R)$ , $det(A+M)=det(A)+det(M)$.
  • (Véronique Bluteau - 15.1.1) - La matrice $\displaystyle\left(\begin{array}{cccc}a&b&0&b\\ b&a&b&0\\ 0&b&a&b\\ b&0&b&a\end{array}\right)$ est-elle inversible ?
  • (Véronique Bluteau - 15.1.2) - Calculer le déterminant de $\displaystyle\left(\begin{array}{ccccc}0&\alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\\ \alpha_1&0&\alpha_2&\cdots&\alpha_n\\ \alpha_1&\alpha_2&0&\cdots&\alpha_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n&0\end{array}\right)$.
  • (Véronique Bluteau - 15.2) - Soit $a_1$, $a_2$, $a_3$, $b_1$, $b_2$, $b_3$ des complexes quelconques. Montrer que le déterminant de $(a_i-b_j)_{1\le i,j\le3}$ est toujours nul.
  • (Véronique Bluteau - 15.3) - Étant donné $a$, $b$, $c$ des réels non nuls, on considère les plans d'équations respectives $(a+b)^2x+c^2y+c^z=0$, $a^2x+(b+c)^2y+c^2z=0$ et $b^2x+b^2y+(a+c)^2z=0$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ces plans aient en commun le seul vecteur nul.