Semaine 12

Semaine 12

  • (Abdelhaq Abdelqari - 12.1.1) - Soient $n\in\Nd^*$ , $ (a_{1},\cdots,a_{n})\in\Rd^n$ tels que $a_{1}\lt\cdots\lt a_{n} $. La famille d'applications $(f_{a_{i}})_{1\leq i\leq n} $ est elle libre ou liée, dans les exemples suivants : $f_{a_{i}} : \Rd\rightarrow\Rd, x\mapsto cos(x+a_{i})$ ; $f_{a_{i}} : \Rd\rightarrow\Rd, x\mapsto \frac{1}{x-a_{i}}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 12.1.1) - Soit E un $\Kd$-ev de dimension finie, F, G deux sev de E. Montrer que : $ (dim(F + G))^{2} + ((dim (F\cap G))^{2} \geq (dim (F))^{2} + (dim (G))^{2}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 12.2.1) - On note $ E=\Rd^{\Rd} $ le $\Rd$-ev de toutes les applications de $\Rd$ dans $\Rd$, $F=\{f\in E; f(0)=0 \}$, et $A=C_{E}(F)=\{ g\in E; g(0)\neq 0\}$. Vérifier que F est un sev de E. Est-ce que A est un sev de E ? Montrer que, pour tout $g\in A $, la droite vectorielle $ \Rd_{g} $ est un supplémentaire de F dans E.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 12.2.2) - Soient E un $\Kd$-ev, A, B deux sev de E. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (i) $ A\cup B $ est un sev de E ; (ii) $A \subset B $ ou $B \subset A $.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 12.3.1) - On considère l'équation différentielle: $ y'+2e^{x}y=0 $, d'inconnue $y$ une fonction dérivable sur $\Rd$. Montrer que les solutions de cette équation forment un $\Rd$-espace vectoriel. Trouver une fonction $y_{0}$ telle que l'ensemble des solutions soit exactement $Vect (y_{0})$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 12.3.2) - Soit $n$ un entier naturel. Soit $ (P_{0}(X), P_{1}(X),...,P_{n}(X)) $ une famille de polynômes non nuls dans l'espace $\Rd_{n}[X] $ de degrés tous différents montrer qu'il s'agit d'une base. Montrer que la famille $ (X^{k}.(X-1)^{n-k})_{0\leq k \leq n} $ est une base de $R_{n}[X]$.
  • (Anthony Maxilaris - 12.1) - Soit $f$ : $x\mapsto\arctan(x)$, $E=\{\alpha f+\beta f^2\;/\;(\alpha,\beta)\in\Rd^2\}$ et $F=\{\alpha f^3\;/\;\alpha\in\Rd\}$. $E$ et $F$ sont-ils des espaces vectoriels ? Que vaut $E\cap F$ ?
  • (Anthony Maxilaris - 12.2) - Condition nécessaire et suffisante pour que $F+G=F\cap G$.
  • (Anthony Maxilaris - 12.3) - Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $F\subset G$ ou $G\subset F$.
  • (Antoine Pichoff - 12.1) - Calculer, selon les valeurs de $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$, la dimension de l'espace engendré par $(e_ 1,e_2,e_3)$ où $e_1=(\beta,-\gamma,0)$, $e_2=(-\gamma,0,\alpha)$, $e_3=(0,\gamma,-\beta)$.
  • (Antoine Pichoff - 12.2) - On note $E_k=\{(a+b,2a+b+c,a-kc,b+kc)$ tels que $a$, $b$, $c\in\Rd\}$. Montrer que $E_k$ est un espace vectoriel. Donner la dimension de $E_k$. Donner un supplémentaire de $E_k$ (dans quel espace ?).
  • (Antoine Pichoff - 12.3) - On note $V=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)$ tels que $x_1=x_2-3x_3,x_3=2x_4\}$. Montrer que $V$ est un espace vectoriel. Donner la dimension de $V$. Donner un supplémentaire de $V$ (dans quel espace ?).
  • (Antoine Pichoff - 12.4) - On considére les trois vecteurs suivants : $x_1=(1,1,1,1)$, $x_2=(3,2,1,0)$ et $x_3=(2,1,\alpha,\alpha-1)$ où $\alpha$ est un paramétre. Sont-ils linéairement indépendants ?
  • (Antoine Pichoff - 12.5) - On note, pour $k\in\Nd$, $G_k=\{(a+b,a-kc,b+kc-a,a+b+c)$ tel que $a$, $b$, $c\in\Rd\}$. Montrer que $G_k$ est un $\Rd$-espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?
  • (Antoine Pichoff - 12.6.1) - On note $E=\{(a,b,c,d)\in\Rd^4$ tels que $a-b=c-d\}$. Montrer que $E$ est un $\Rd$-espace vectoriel. Quelle est sa dimension ?
  • (Antoine Pichoff - 12.6.2) - Soit $f$ : ${\cal M}_n(\Cd)\to\Cd$ non constante telle que $f(AB)=f(A)f(B)$. On note $J_r$, la matrice dont la diagonale possède $r$ 1 successivement, les autres coefficients étant nuls. Montrer que pour tout $A\in{\cal M}_n(\Cd)$, il existe un unique $r\in\Nd_n$ et $P$, $Q$ deux matrices inversibles telles que $A=PJ_rQ$. Que dire de $r$ si $A$ est inversible ? Montrer que $f(A)\neq 0\Longleftrightarrow A$ est inversible. Déterminer une telle fonction $f$ pour $n=2$.
  • (Bertrand des Abbayes - 12.1) - Dans le $\Rd$-espace vectoriel ${\cal F}(]-1;1[,\Rd)$, soit $f$ : $x\mapsto 1/(x-1)$, $g$ : $x\mapsto 1/(x+1)$ et $h$ : $x\mapsto 1/(x^2-1)$, déterminer $Vect(f,g,h)$ et en donner une base.
  • (Bertrand des Abbayes - 12.2) - Soit $a$, $B$ et $C$ dans ${\cal M}_n(\Kd)$ tels que $C=AB-BA$ et $BC=CB$, montrer que, pour tout entier $p$, on a $AB^{p+1}=B^p(BA+(p+1)C)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 12.3) - Inversion de $\displaystyle\left(\begin{array}{ccc}1&2&-5\\-6&0&1\\1&-1&2\end{array}\right)$ si c'est possible.
  • (Didier Robbes - 12.1.1) - Montrer que des sous-espaces vectoriels de sous-espaces vectoriels en somme directe le sont aussi.
  • (Didier Robbes - 12.1.2) - Soit $F$, $G$ et $H$ trois sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer $F+(G\cap H)\subset(F+G)\cap(F+H)$ et $F\cap(G+H)\supset(F\cap G)+(F\cap H)$. Réciproque ?
  • (Didier Robbes - 12.2) - Montrer que chacun des quatre axiomes d'espace vectoriel est indispensable.
  • (Didier Robbes - 12.3) - Soit $F$, $G$ et $H$ trois sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $F\subset G$. Montrer $F+(G\cap H)=(F+H)\cap G$.
  • (Françoise Gillardeau - 12.1) - Montrer que la famille $(x\mapsto e^{kx})_{1\le k\le n}$ est libre.
  • (Françoise Gillardeau - 12.2) - Soit $E={\cal C}^0([0;1];\Rd)$ et $F$ son sous-espace vectoriel formé des fonctions constantes, et $G$ l'ensemble des fonctions telles que $G$ est un sous-espace vectoriel et $E=F\oplus G$.
  • (Françoise Gillardeau - 12.3) - Soit $(a_0,a_1,\ldots,a_n)\in\Rd^{n+1}$. On pose $u_i=(1,a_i,a_i^2,\ldots,a_i^n)\in\Rd^{n+1}$ pour $0\le i\le n$. Montrer l'équivalence : $(u_0,\ldots,u_n)$ est libre $\Leftrightarrow$ Card$\{a_0,\ldots,a_n\}=n+1$.
  • (François Sauvageot - 12.1) - Montrer que la famille de fonctions $x\mapsto\cos(\omega x)$ est libre dans ${\cal F}(\Rd,\Rd)$.
  • (François Sauvageot - 12.2) - Soit $A$ dans ${\cal M}_2(\Cd)$. Trouver les $B$ telles que $AB=BA$. Montrer que c'est un espace vectoriel de dimension $2$ en général.
  • (François Sauvageot - 12.3) - Dimension de l'espace des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur à $n$. Montrer qu'une famille échelonnée en degré en est une base.
  • (Jacques Paris - 12.1) - Pour $F=Vect(u,v)$ avec $u=(1,1,0)$ et $v=(2,1,1)$ dans $\Rd^3$, déterminer un supplémentaire de $F$.
  • (Jacques Paris - 12.2) - Soit $(e_i)_{1\le i\le n}$ une famille libre dans un espace vectoriel $E$ et $(\alpha_i)$ des scalaires. On pose $u=\sum_{i=1}^n\alpha_ie_i$ et $y_i=u+e_i$. Montrer que $(y_i)$ est libre si et seulement si $\sum\alpha_i\ne-1$.
  • (Jacques Paris - 12.3) - Montrer que $E=\{f\in{\cal F}(\Rd,\Rd)\;|\;\exists(a,b,c)\in\Rd^3\;\forall x\in\Rd\;f(x)=(ax^2+bx+c)\cos(x)\}$ est un $\Rd$-espace vectoriel. En donner une base et la dimension.
  • (Jean-Louis Liters - 12.1) - Trouver un supplémentaire dans $E={\cal D}(\Rd,\Rd)$ de $\{f\in E\;|\;f(0)=f'(0)=0\}$.
  • (Jean-Louis Liters - 12.2) - À propos de $E\oplus F\oplus G$. Diverses caractérisations, y compris $E\cap F=\{0\}$ et $(E+F)\cap G=\{0\}$.
  • (Jean-Michel Rey - 12.1.1) - L'ensemble $\{(x,y)\in\Rd^2\;|\;xy=0\}$ est-il un sous-espace vectoriel de $\Rd^2$ ?
  • (Jean-Michel Rey - 12.1.2) - Soient $E = {\cal{F}}(\Rd,\Rd)$, ${\cal{C}}$ l'ensemble des fonctions de $E$ croissantes et $\Delta = \left\{ {f - g/f,g \in {\mathcal{C}}} \right\}$. Montrer que $\Delta $ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  • (Jean-Michel Rey - 12.1.3) - L'ensemble $\{(a-b,a+b,a-3b)\;|\;(a,b)\in\Rd^2\}$ est-il un sous-espace vectoriel ? de quoi ? en donner une famille génératrice.
  • (Jean-Michel Rey - 12.2.1) - Montrer que $F=\{f\in{\cal D}(\Rd,\Rd)\;|\;f'(0)=f'(1)\}$ est un sous-espace vectoriel de ${\cal D}(\Rd,\Rd)$.
  • (Jean-Michel Rey - 12.2.2) - Montrer que $F=\{(x,y,z)\in\Rd^3\;|\;x+y-z=0\}$ est un sous-espace vectoriel. En donner une famille génératrice.
  • (Jean-Michel Rey - 12.3.1) - Que dire de $F=\{f\in{\cal{F}}(\Rd,\Rd)\;|\;f$ monotone $\}$ ?
  • (Jean-Michel Rey - 12.3.2) - Pour $F$ et $G$ des sous-espaces vectoriels de $E$, montrer $F\cap G=F+G\Leftrightarrow F=G$.
  • (Mohammed Laadnani - 12.1.1) - Soient $E = {\cal{F}}(\Rd,\Rd)$, ${\cal{C}}$ l'ensemble des fonctions de $E$ croissantes et $\Delta = \left\{ {f - g/f,g \in {\mathcal{C}}} \right\}$. Montrer que $\Delta $ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  • (Mohammed Laadnani - 12.1.2) - On pose $f_1 ,f_2 ,f_3 ,f_4 :\left[ {0,2\pi } \right] \to \Rd$ les fonctions définies par : $f_1 (x) = \cos x$, $f_2 (x) = x\cos x$, $f_3 (x) = \sin x$ et $f_4 (x) = x\sin x$. Montrer que la famille $(f_1 ,f_2 ,f_3 ,f_4 )$ est libre.
  • (Mohammed Laadnani - 12.2.1) - Soit $F = \left\{ {(u_n ) \in \Rd^\Nd \mid \forall n \in \Nd,u_{n + 2} = nu_{n + 1} + u_n } \right\}$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\Rd^\Nd $.
  • (Mohammed Laadnani - 12.2.2) - Pour tout entier $0 \leq k \leq n$, on pose $f_k :\Rd \to \Rd$ la fonction définie par $f_k (x) = {\text{e}}^{k.x} $. Montrer que la famille $(f_k )_{0 \leq k \leq n} $ est une famille libre de ${\mathcal{F}}(\Rd,\Rd)$.
  • (Mohammed Laadnani - 12.3.1) - Démontrer que le sous-ensemble constitué des suites réelles périodiques est un sous-espace vectoriel d'une structure que l'on précisera.
  • (Mohammed Laadnani - 12.3.2) - Soient $E = {\mathcal{C}}(\left[ {0,\pi } \right],\Rd)$, $F = \left\{ {f \in E\mid f(0) = f({\pi \mathord{\left/{\vphantom {\pi 2}} \right.} 2}) = f(\pi )} \right\}$ et $G = \textrm{Vect} (\sin ,\cos )$. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$.
  • (Philippe Skler 12.1) - Dans l'espace vectoriel $\Rd^{4}$, on considère les vecteurs suivants : $a=\left( 1,2,3,4\right)$, $b=\left( 1,1,1,3\right)$, $c=\left( 2,1,1,1\right)$, $d=\left( -1,0,-1,2\right)$, $e=\left( 2,3,0,1\right)$. On considère les sous espaces suivants : $U=vect\left( a,b,c\right) ,V=vect\left( d,e\right)$. Quelles sont les dimensions de : $U\cap V$, $U+V$ ?
  • (Philippe Skler 12.2) - On considère les vecteurs de $\Kd^3$ : $a = (1, 2, 1)$, $b = (1, 3, 2)$, $c = (1, 1, 0)$, $d = (3, 8, 5)$. Soient $F = vect(a,b)$ et $G =vect(c,d)$. Comparer $F$ et $G$.
  • (Véronique Bluteau - 12.1) - Pour $x$ réel, on pose $f(x)=\cos(x)$, $g(x)=\cos(x+1)$ et $h(x)=\cos(x+2)$. La famille $(f,g,h)$ est-elle libre dans ${\cal F}(\Rd,\Rd)$ ? Donner deux bases de $Vect(f,g,h)$.
  • (Véronique Bluteau - 12.2) - Soit $E$ l'ensemble des réels de la forme $a+b(1+\sqrt{2})^2+c(1-\sqrt{2})^2$. Montrer que c'est un $\Qd$-espace vectoriel et en trouver une base.
  • (Véronique Bluteau - 12.3) - Soit $A$, $B$ et $C$ trois sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $A\subset C$ et $E=A\oplus B$, démontrer $C=A\oplus(B\cap C)$.