Semaine 11

Semaine 11

  • (Abdelhaq Abdelqari - 11.1) - Soit $a$ un réel donné, calculer en discutant suivant les valeurs du réel a, l'inverse de la matrice $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&a\\1&2&-1\\2&a&2\end{array}\right)$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 11.2) - Soit $n\in\Nd^*$ et $A$ la matrice définie par $A=(Min(i;j))_{1\leq i,j \leq n}$. En utilisant des opérations élémentaires, montrer que $A$ est inversible et calculer son inverse $A^{-1}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 11.3) - Pour $(\lambda;\mu)\in\Cd^2$, discuter et résoudre en utilisant la méthode de pivot de Gauss, le système linéaire d'inconnues $(x,y,z,t)\in\Cd^4$ : $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}\lambda x+y+z+t=1\\x+\lambda y+z+t=\mu\\x+y+\lambda z+t=\mu^2\\x+y+z+\lambda t=\mu^3\;.\end{array}\right.$
  • (Anthony Maxilaris - 11.1) - Systèmes avec paramètres.
  • (Anthony Maxilaris - 11.2) - Système avec un paramètre, discussion.
  • (Anthony Maxilaris - 11.3) - Condition nécessaire et suffisante pour que $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$ soit inversible. Calcul de l'inverse.
  • (Antoine Pichoff - 11.1) - Discuter suivant les valeurs de $a$, la résolution du système suivant : $\displaystyle\left\{\begin{array}{rcrcrcc}(a+1)x&+&y&+&z&=&a^2+3a\\x&+&(a+1)y&+&z&=&a^3+3a^2\\x&+&y&+&(a+1)z&=&a^4+3a^3\;.\end{array}\right.$
  • (Antoine Pichoff - 11.2) - Soit $n\in\Nd^*$. Soit $w=e^{2i\pi/n}\in\Cd$. Soient $X\in M_n(\Cd)$ telle que $X=(x_{pq})_{p,q\in\Nd_n}$ avec $x_{pq}=w^{pq}$ et $\overline{X}$, la matrice dont les coefficients sont les conjugués de ceux de $X$. Calculer $X\times \overline{X}$. Calculer $X^2$.
  • (Antoine Pichoff - 11.3) - Calculer l'inverse de la matrice (sur $\Cd$) $\displaystyle M=\left(\begin{array}{c c c} 1 & 1+i & -i \\ 0 & i & 1-2i \\1 & 1 & i\end{array}\right)$.
  • (Antoine Pichoff - 11.4) - Soit $A\in M_n (\Rd)$ une matrice symétrique $A^T= A$ et définie positive, i.e. $\sum_{i,j=1}^n x_ia_{i,j}x_j>0$ pour tout $x=(x_1,x_2,\dots x_n)\neq 0_n$. On veut montrer qu’il existe une unique matrice triangulaire inférieure $L$ telle que $\ell_{ii} > 0$ pour tout $i$, et $A = L \times L^T$. Écrire $A$ sous la forme $\displaystyle A =\left(\begin{array}{cc}A_{n-1}& b_n\\ b_n^T& a_{n,n}\end{array}\right)$ avec $b\in \Rd^{n-1}$, $a_{n,n}$ le coefficient correspondant de $A$ et $A_{n-1}$ une matrice de $M_{n-1}(\Rd)$, symétrique, définie, positive. En supposant la propriété à démontrée vraie pour $A_{n-1}$ trouver alors $L$ recherchée. Prouver par récurrence que toute matrice $A$ symétrique, définie positive, admet une décomposition de Cholesky. Écrire l’algorithme permettant de calculer les coeffcients de $L$ en fonction de $A$. Appliquer la méthode à $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2&3\\ 2&3&4\\3&4&1\end{array}\right)$. Combien de calculs sont nécessaire ici (en $n$) pour en déduire $x$ si $Ax=b$ ? A comparer avec l'algorithme de Gauss.
  • (Antoine Pichoff - 11.5) - Soit $f$ : $M_n(\Cd)\rightarrow \Cd$ non constante telle que $f(AB)=f(A)f(B)$. On note $J_r$, la matrice dont la diagonale possède $r$ 1 successivement, les autres coefficients étant nuls. Montrer que pour tout $A\in M_n(\Cd)$, il existe un unique $r\in\Nd_n$ et $P$, $Q$ deux matrices inversibles telles que $A=PJ_rQ$. Que dire de $r$ si $A$ est inversible ? Montrer que $f(A)\neq 0\Longleftrightarrow A$ est inversible. Déterminer une telle fonction $f$ pour $n=2$.
  • (Antoine Pichoff - 11.6) - On se place dans $E=M_n(\Rd)$ et pour tout entier $r$, on considère $s_r$ et $t_r$ : $E\rightarrow \Rd$ qui à $A$ associent $\sum_{i=1}^na_{i,r}$ et $\sum_{j=1}^na_{r,j}$. On note $J$ la matrice de $E$ dont tous les éléments valent $1$ et $F=\{A\in E\;|\;\forall r_1,r_2\in\Nd, s_{r_1}(A)=t_{r_2}(A)\}$. Montrer que $A\in F\Leftrightarrow \exists d(A)\in\Rd$ tel que $A\times J=J\times A=d(A) J$. En déduire que pour tout $A$, $B$ dans $F$, $d(A+B)=d(A)+d(B)$ et $d(AB)=d(A)d(B)$. On suppose que $A\in F$ est inversible. Montrer $d(A)\neq 0$. Exprimer $d(A^{-1})$ en fonction de $d(A)$. Soit $G=\{A\in F\;|\; d(A)=0\}$. Montrer $\forall A\in F$, $\exists!(B,\lambda)\in G\times \Rd$ tel que $A=B+\lambda J$. On suppose $n=3$ et on note $a_{i,j}$ les coefficients de $A$. Donner une condition nécessaire et suffisante, sous forme de système, pour exprimer que $A\in G$. Combien d'inconnues libres ? Donner des exemples de matrices magiques.
  • (Bertrand des Abbayes - 11.1) - Pour $a$ et $b$ réels, résoudre $MX=B$ avec $\displaystyle M=\left(\begin{array}{ccc}-a&1&0\\0&-a&1\\1&0&-a\end{array}\right)$ et $\displaystyle B=\left(\begin{array}{c}b\\b\\b\end{array}\right)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 11.2) - Pour $a$ complexe, résoudre $MX=0_{3,1}$ avec $\displaystyle M=\left(\begin{array}{ccc}1&a&a^2\\\overline{a}&1&a\\\overline{a}^2&\overline{a}&1\end{array}\right)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 11.3) - Pour $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}2&1\\0&3\end{array}\right)$ et $\displaystyle M'=\left(\begin{array}{cc}2&0\\0&3\end{array}\right)$, trouver $P$ et $Q$ telles que $PQ=I_2$ et $M'=QMP$.
  • (Didier Robbes - 11.1.1) - Montrer que des sous-espaces vectoriels de sous-espaces vectoriels en somme directe le sont aussi.
  • (Didier Robbes - 11.1.2) - Soit $F$, $G$ et $H$ trois sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer $F+(G\cap H)\subset(F+G)\cap(F+H)$ et $F\cap(G+H)\supset(F\cap G)+(F\cap H)$. Réciproque ?
  • (Didier Robbes - 11.2) - Soit $F$, $G$ et $H$ trois sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $F\oplus G=E$, $H\oplus K=E$ et $H\subset G$. Montrer $F\oplus H\oplus(G\cap K)=E$. Réciproques ?
  • (Didier Robbes - 11.3.1) - Soit $A=(a_{i,j})$ définie par $a_{i,j}=1$ si $i=j$, $a_{i,j}=j$ si $j=i+1$ et $a_{i,j}=0$ sinon. Calculer $A^{-1}$.
  • (Didier Robbes - 11.3.2) - Soit $F$, $G$ et $H$ trois sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $F\subset G$. Montrer $F+(G\cap H)=(F+H)\cap G$.
  • (Françoise Gillardeau - 11.1) - Démontrer que l’ensemble des suites $(x_n)$ telles que $\sup(|x_n|^{1/n},n\in\Nd^*)$ est fini est un espace vectoriel pour les lois usuelles.
  • (Françoise Gillardeau - 11.2) - $L$, $M$, $N$ étant trois sous-espaces d’un espace vectoriel $E$, comparer $L\cap(M+N)$ et $L\cap M + L\cap N$.
  • (Françoise Gillardeau - 11.3) - $F$ et $G$ étant deux sous-espaces vectoriels d’un même espace vectoriel $E$, condition nécessaire et suffisante pour que $F\cup G$ soit un sous-espace vectoriel de $E$.
  • (François Sauvageot - 11.1) - Étudier le système $x+y+z=ax+y+z-b^2=x+ay+abz+b=0$ en fonction des paramètres $a$ et $b$.
  • (François Sauvageot - 11.2) - En supposant avoir trouvé la solution approchée $(x=1;y=2;z=3)$ du système $1,7x+2,3y-1,5z=2,35$, $1,1x+1,6y-1,9z=-0,94$, $2,7x-2,2y+1,5z=2,70$, améliorer l'approximation.
  • (Jacques Paris - 11.1) - Résoudre $x+3y+z-1=x+2y+z=x+ay+z-b=0$ en fonction des paramètre $a$ et $b$.
  • (Jacques Paris - 11.2) - Résoudre $\lambda x+y+z-1=x+\lambda y+z-\lambda=x+y+\lambda z-1=0$ en fonction du paramètre réel $\lambda$.
  • (Jacques Paris - 11.3) - Pour $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer $F\cup G$ est un sous-espace de $E\Leftrightarrow F\subset G$ ou $G\subset F$.
  • (Jean-Louis Liters - 11.1) - Résoudre $x+ay+z+t-1=x+y+az+t-b=x+y+z+at-1=0$ pour $a$ et $b$ réels.
  • (Jean-Louis Liters - 11.2) - Inverser la matrice n'ayant que des 1, sauf sur la diagonale qui est nulle.
  • (Jean-Louis Liters - 11.3) - Résoudre, pour $a$ réel, $x+y-2z-a=2x+y-3z-3a=6x-y-5z-13a=4x-2y-2z-4a-6=0$.
  • (Jean-Michel Rey - 11.1.1) - Résoudre $x-y+z-m=x+my-z-1=x-y-z-1=0$ en fonction du paramètre $m$.
  • (Jean-Michel Rey - 11.1.2) - Résoudre $x+ay+z+t-1=x+y+az+t-b=x+y+z+at-1=0$ en fonction du paramètre $a$.
  • (Mohammed Laadnani - 11.1) - Soit $A$ la matrice carrée d'ordre $n$ telle que $\displaystyle A =\left(\begin{array}{ccc}1&&-1\\&1&\\0&&1\end{array}\right)$ avec des $-1$ au-dessus de la diagonale et des $0$ en-dessous. Résoudre le système $AX=Y$ ($X$ et $Y$ matrices colonnes $(n,1)$) pour $n=2$, $n=3$ puis dans le cas général. En déduire l'inverse de $A$.
  • (Mohammed Laadnani - 11.2.1) - On donne la matrice $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\2&-1&1\\-1&1&-1\end{array}\right)$. Utiliser la méthode du pivot de Gauss pour inverser la matrice $A$.
  • (Mohammed Laadnani - 11.2.2) - Produit des matrices élémentaires $E_{ij}$ et $E_{kl}$.
  • (Mohammed Laadnani - 11.3) - On donne la matrice $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2&-1&2\\5&-3&3\\-1&0&-2\end{array}\right)$. Calculer $(A+I)^3$ puis en déduire l'inverse de $A$.
  • (Philippe Skler 11.1) - Soit $D$ l'ensemble des matrices $A=(a_{ij})$ telles que $\displaystyle \sum_{j=1}^na_{ij}=1$ et $a_{ij}\geq 0$ . Montrer que $D$ est stable par le multiplication. Trouver les matrices de $D$ inversibles dont l'inverse est dans $D$.
  • (Philippe Skler 11.2) - Résoudre le système suivant : $x+ay+bz-a=x+by+az-b=ax+y+bz-a=ba+y+az-b=0$.
  • (Philippe Skler 11.3) - Soient trois réels $x$, $y$ et $z$ tels que $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$, on considère les matrices suivantes : $$M=\left(\begin{array}{ccc}0 & z & -y \\-z & 0 & x \\y & -x & 0\end{array}\right) \quad P=I+M^{2}\;.$$ Montrer que l'on a : $P^{2}=P$ et $PM=MP=0$.
  • (Véronique Bluteau - 11.1) - Résoudre dans $\Cd$, $ax+by+z-1=x+aby+z-b=x+by+az-1=0$ en fonction des paramètres $a$ et $b$.
  • (Véronique Bluteau - 11.2) - Discuter et résoudre le système $x+my+(m-1)z-(m+1)=3x+2y+mz-3=(m-1)x+my+(m+1)z-(m-1)=0$ en fonction du paramètre réel $m$.
  • (Véronique Bluteau - 11.3) - Résoudre dans $\Cd$, $x+y+z-a=x+jy+j^2-b=x+j^2y+jz-c=0$ avec $j=e^{2i\pi/3}$, en fonction des paramètres $a$, $b$ et $c$.