Semaine 9

Semaine 9

  • (Abdelhaq Abdelqari - 9.1.1) - Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2x)}{\cos^{4}(x) + \sin^{2}(x)}dx$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 9.1.2) - Déterminer les solutions à valeurs réelles de : $\displaystyle y' - \frac{1}{\cos^{2}t}y = \sinh(t)e^{\tan(t)} $.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 9.2.1) - Calculer l'intégrale $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x\arctan(x)}{(1+x^{2})^{2}}dx $.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 9.2.2) - Déterminer les solutions à valeurs réelles de : $\displaystyle y' - \tanh(x)y = \frac{1}{2}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 9.3) - Pour tout entier naturel n, on pose $\displaystyle J_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(nx)}{\sin(x)}dx $. Prolonger la fonction $ x \mapsto \frac{\sin(nx)}{\sin(x)} $ par continuité en 0 et justifier l'existence de $ J_{n}$. Calculer $ J_{n+1} - J_{n} $ et en déduire la valeur de $ J_{2p+1}$ pour tout entier $p$.
  • (Anthony Maxilaris - 9.1.1) - Calculer $I_n=\int_0^1u^n\sqrt{1-u}du$.
  • (Anthony Maxilaris - 9.1.2) - Résoudre $y"+2y'+2y=x^2+x+1$ sur $\Rd$.
  • (Anthony Maxilaris - 9.2.1) - Résoudre $(1+x^2)y'+xy=3x^3+3x$ et $(1+x^2)y'+xy=1$ sur $\Rd$.
  • (Anthony Maxilaris - 9.2.2) - Calculer $\displaystyle\int\frac{x^2}{(2-x^3)\sqrt{1-x^3}}dx$.
  • (Antoine Pichoff - 9.1.1) - Donner les solutions sur $\Rd$ de l'équation différentielle :$|x|y^\prime+y=x^2$.
  • (Antoine Pichoff - 9.1.2) - Calculer pour $n\in\Nd$, $\int_0^1x^n\arctan(x) dx$.
  • (Antoine Pichoff - 9.2.1) - Résoudre l'équation différentielle $\displaystyle y^{\prime\prime}+\frac{2x}{1+x^2}y^\prime +\frac{1}{(1+x^2)^2}y=x^2+4$ en utilisant le changement de variable $t=\arctan x$.
  • (Antoine Pichoff - 9.2.2) - Calculer sur un intervalle $I$ à préciser les primitives de $f_1$ : $x\mapsto\ln(x^2+4x-5)$ et $f_2$ : $x\mapsto\ln(x^2+4x+5)$.
  • (Antoine Pichoff - 9.3.1) - Calculer $\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos 2x}{\sin x} dx$. On pourra faire un changement de variable.
  • (Antoine Pichoff - 9.3.2) - Donner les solutions sur $\Rd$ de l'équation différentielle (non linéaire) : $(y^{\prime})^2-4y=0$.
  • (Antoine Pichoff - 9.4) - Pour tout entier $n$, donner la valeur de $I_n=\int_1^e(\ln (x))^n dx$.
  • (Antoine Pichoff - 9.5.1) - Rechercher les solutions de $|f^\prime(x)|+3x^2f(x)=0$ avec $f(1)=-1$.
  • (Antoine Pichoff - 9.4.2) - Calculer sur un intervalle $I$ à préciser les primitives de $\varphi$ : $\displaystyle x\mapsto\frac{1}{x^2{(x^2+1)}^2}$. On pourra commencer par décomposer en éléments simples la fraction $\displaystyle F(X)=\frac{1}{X(X+1)^2}$.
  • (Antoine Pichoff - 9.6.1) - Résoudre l'équation différentielle $y^\prime \cos^2(x)+y\sin^2(x)=e^x$, sur $]0,\pi[$.
  • (Antoine Pichoff - 9.6.2) - Donner les primitives de $\displaystyle x\mapsto\frac{1}{x+\sqrt{x^2+2x}}$.
  • (Bertrand des Abbayes - 9.1) - Résoudre $\displaystyle y'=\frac1xy^2-(2+\frac1x)y+x+2$ sur $\Rd_+^*$. Trouver une solution de la forme $y=ax+b$, puis résoudre en $u=y-x$.
  • (Bertrand des Abbayes - 9.2) - Résoudre sur $\Rd$ : $f'x)+f(-x)=(-2x+2)e^x$.
  • (Bertrand des Abbayes - 9.3) - Résoudre sur $\Rd$ : $y"+y'-6y=\cos(x)$.
  • (Didier Robbes - 9.1) - Résoudre sur $\Rd$ : $|x|y'+(x-1)y=x^3$.
  • (Didier Robbes - 9.2) - Résoudre sur $\Rd$ : $x(x^2-1)y'+2y=x^2$.
  • (Didier Robbes - 9.3) - Résoudre $x^2y"+xy'-4y+4x^2=0$.
  • (Didier Robbes - 9.4) - Résoudre $y"-3y'+2y=e^x$.
  • (Françoise Gillardeau - 9.1) - Résoudre $y"+4y'+13y=e^{-2x}(\pi-x)$.
  • (Françoise Gillardeau - 9.2) - Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\ln(1+\tan(x))dx$ après avoir prouvé $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\ln(\cos(x))dx=\int_0^{\pi/4}\ln(\cos(\pi/4-x))dx$.
  • (Françoise Gillardeau - 9.3) - Calculer $\displaystyle\int_0^2\frac{dx}{1+x^3}$.
  • (François Sauvageot - 9.1.1) - Calculer $\int\frac{5x^2+6x+9}{(x-3)^2(x+1)^2}dx$.
  • (François Sauvageot - 9.1.2) - Calculer $\int\tan^4(x)dx$.
  • (François Sauvageot - 9.2) - Calculer $\int\frac{dx}{x^3-4x^2+5x-2}$.
  • (François Sauvageot - 9.3) - Calculer $\int\frac{dx}{x^3-2x^2+x}$.
  • (Jacques Paris - 9.1) - Résoudre $4y"+4y'+5y=\sin(x)\exp(-x/2)$.
  • (Jacques Paris - 9.2) - Résoudre $(1+x)y'+y=(1+x)\sin(x)$.
  • (Jacques Paris - 9.3.1) - Résoudre $y"+2y'+4y=x\exp(x)$ dans le cas général, puis avec les conditions aux limites $y(0)=1$ et $y(1)=0$.
  • (Jacques Paris - 9.3.2) - Résoudre $y'+y=\sin(x)+3\sin(2x)$.
  • (Jean-Louis Liters - 9.1) - Résoudre $2x(1+x)y'+(1-x)y=1+x$ sur un intervalle ne contenant ni 0, ni $-1$.
  • (Jean-Louis Liters - 9.2) - Résoudre sur $\Rd$ : $y'(x)=y(-x)$.
  • (Jean-Louis Liters - 9.3) - Résoudre sur $\Rd$ : $y"+(1-4m)y'+(m+1)(3m-2)y=x+1$ (pour $m\in\Rd$).
  • (Jean-Michel Rey - 9.1) - Trouver les courbes ${\cal C}$ telles qu'en tout point $M$, la tangente en $M$ à ${\cal C}$ rencontre les axes de coordonnées en $P$ et $Q$ tels que $M$ soit le milieu de $[P;Q]$.
  • (Jean-Michel Rey - 9.2) - Trouver $f$ de $\Rd_+^*$ dans $\Rd$, dérivable, telle que $\forall x\in\Rd_+^*$, $f'(x)=f(1/x)$.
  • (Jean-Michel Rey - 9.3) - Trouver $f$ dérivable de $\Rd$ dans $\Rd$, telle que $\forall x\in\Rd$, $f'(x)-f(-x)=(2-2x)e^x$.
  • (Mohammed Laadnani - 9.1) - Résoudre l'équation $y''+y'-2y=xe^x$.
  • (Mohammed Laadnani - 9.2) - Résoudre l'équation $y'+y\tan(x)=sin(2x)$ sur $]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[$.
  • (Mohammed Laadnani - 9.3) - Résoudre l'équation $\sqrt{x^2-1}y'+y=1$ sur $[1;+\infty[$.
  • (Philippe Skler 9.1) - Résoudre $y''-2y'-3y=x\cos(x)$.
  • (Philippe Skler 9.2) - Calculer $\int \frac{x}{1+x^2+x^4}$.
  • (Philippe Skler 9.3) - Résoudre $2x(1-x)y'+(1-2x)y=1$.
  • (Véronique Bluteau - 9.1) - Résoudre $y"+4y=x\cos^2(x)$.
  • (Véronique Bluteau - 9.2) - Calcul de $\displaystyle\int\frac{dx}{x^3+1}$ puis de $\displaystyle\int\frac{dx}{(x^3+1)^2}$.
  • (Véronique Bluteau - 9.3) - Résoudre $x(x^2+1)y'+y+x=0$.