Semaine 8

Semaine 8

  • (Abdelhaq Abdelqari - 8.1) - Construire la conique d'équation polaire $\displaystyle\rho=\frac{6}{2 + cos(\theta - \frac{\pi}{4})}$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 8.2.1) - Construire la courbe $\Gamma$ dont une équation cartésienne dans un repère ${\cal R}=(O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath})$ est $x^{2}-4y^{2}+4x+8y-4=0$.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 8.2.2) - Construire la conique d'équation polaire $\displaystyle\rho = \frac{2}{\sqrt{2} + cos\theta + sin\theta} $.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 8.3) - Construire la conique d'équation polaire : $\displaystyle\rho = \frac{1}{ 1 + \sqrt{3} cos\theta - sin\theta} $.
  • (Anthony Maxilaris - 8.1) - Étude de $4x|x|+y^2-16x-20=0$.
  • (Anthony Maxilaris - 8.2) - Courbe orthoptique d'une ellipse (lieu des points en lesquels les deux tangentes à l'ellipse sont orthogonales).
  • (Anthony Maxilaris - 8.3) - Soit $(ABCD)$ un rectangle. Lieu des points $M$ en lesquels les rayons des cercles circonscrits aux triangles $(MAB)$ et $(MCD)$ sont égaux.
  • (Antoine Pichoff - 8.1) - Soient $a>b>0$, et deux points $P$ et $Q$ décrivant respectivement deux cercles de centre $O$ et de rayon $a+b$ et $a-b$ de façon que l'axe des abscisses soit toujours bissectrice intérieure des demi-droites $(OP,OQ)$. Que peut-on dire du milieu $M$ de $PQ$, et de la normale à $M$ en ce lieu ? Admettant que ce milieu est sur une conique de foyers $F$ et $F^\prime$, calculer le produit $MF\times MF^\prime$ en fonction de $P$ et de $Q$.
  • (Antoine Pichoff - 8.2.1) - Un point $M$ d'une hyperbole se projette orthogonalement en $H$ et $H^\prime$ sur les deux asymptotes. Montrer que le produit $MH\times MH^\prime$ est constant.
  • (Antoine Pichoff - 8.2.2) - Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$. On considère $C$, la courbe d'équation $xy-2x-3y-1=0$ et la transformation $f$ : $M(z)\mapsto M^\prime(z^\prime)$ tel que $\displaystyle z^\prime=\frac{1-i}{2}z-2+2i$. Montrer que $f$ admet un point invariant unique, à déterminer. Reconnaître la nature de la transformation $f$. Exprimer les coordonnées $(x,y)$ de $M$, en fonction de $(x^\prime,y^\prime)$ celles de $M^\prime$. Montrer que l'image de $C$ par $f$ et la courbe $C^\prime$ d'équation $x^2-y^2-x+3y-9=0$. En déduire les natures et éléments caractéristiques de $C^\prime$ et de $C$.
  • (Antoine Pichoff - 8.3) - La normale et la tangente en un point $M$ d'une parabole $\Gamma$ coupent respectivement l'axe focal en $N$ et $T$. Déterminer le lieu des points $P$ tels que $NMTP$ soit un rectangle lorsque $M$ décrit $\Gamma$. Que peut-on dire des abscisses de $M$ et de $N$ ?
  • (Antoine Pichoff - 8.4) - Le plan $P$ étant rapporté à un repère othonormal $(O,\vec{u},\vec{v})$, on considère l'hyperbole $H$ d'équation $x^2-3y^2=1$. $S$ désigne l'ensemble des points du plan dont les deux coordonnés sont des éléments de $\Zd$ (entiers de Gauss). On se propose d'étudier l'ensemble $H\cap S$. Déterminer les asymptotes de $H$ et tracer $H$ dans le plan $P$. On considère $F$ : $M(z)\mapsto M^\prime(z^\prime)$ où $z^\prime=f(z)=(2-i)z+2i\overline{z}$. Calculer les coordonnées $(x^\prime,y^\prime)$ de $M^\prime$ en fonction de celles de $M$. En déduire que $F$ est bijective. Est-ce une isométrie ? Soient $A$, $B$ dans $P$ et $A^\prime$ et $B^\prime$ leurs images respectives par $F$. Montrer que $OAB$ et $OA^\prime B^\prime$ ont même aire. Puis plus généralement, montrer que $F$ conserve l'aire de tout triangle. Montrer que $M\in S\Longleftrightarrow M^\prime\in S$ et $M\in H\Longleftrightarrow M^\prime\in H$. On construit par récurrence une suite de points du plan $(A_n)$ en posant pour tout entier $\Nd$, $A_{n+1}=F(A_n)$ et $A_0=1+0i$. Calculer les coordonnées de $A_1$ et de $A_2$. Montrer que pour tout $n$, $A_n\in H\cap S$. Quels sont les points de $S$ situés sur l'arc $(A_0,A_1)$ de $H$ ? On définit sur $H$, l'opération $\star$ ainsi : à $M$ et $N$ deux points de $H$, on associe la droite $\delta_{M,N}$ issue de $A_0$, parallèle à $(MN)$ et on note $M\star N$, le second point d'intersection de cette droite avec $H$. Si $\Delta_{M,N}$ est tangente en $A_0$ à $H$, on note $A_0=M\star N$. Enfin $M\star M$ est obtenu en prenant $\Delta_{M,M}$, la droite tangente à $H$ en $M$. On note $R^\prime$, le repère affine dont les axes sont portés par les asymptotes de $H$ et dans lequel les coordonnées de $A_0$ sont $(1,1)$ et tel que l'abscisse de $A_1$ soit strictement inférieure à $A$. Montrer que dans ce repère $H$ a pour équation $XY=1$. Pour deux points $M$ et $N$ de $H$, calculer dans $R^\prime$ les coordonées de $M\star N$. En déduire que $(H,\star)$ est un groupe isomorphe à $(\Rd^*,\times)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 8.1) - Soit $(ABC)$ un triangle et $\theta$ l'angle en $B$. Déterminer le lieu des points $M$ tels que $MM'=MC$ où $M'$ est le projeté de $M$ sur $(AB)$ selon la direction $(BC)$.
  • (Bertrand des Abbayes - 8.2) - Étude de $2mx^2-8mx-(m-1)y^2+12m-2=0$ pour $m$ réel.
  • (Bertrand des Abbayes - 8.3) - Étude de $mx^2+(m+1)y^2-(6m+1)x+4m=0$.
  • (Didier Robbes - 8.1.1) - Longueur minimale d'une corde de parabole qui lui est perpendiculaire à une extrémité.
  • (Didier Robbes - 8.1.2) - Calculer $\displaystyle I_{n,p}=\int_0^1x^n(1-x)^pdx$.
  • (Didier Robbes - 8.2) - Trouver les tangentes communes à deux paraboles de même sommet et d'axes perpendiculaires.
  • (Françoise Gillardeau - 8.1) - Lieu des points $M(z)$ du plan tels que $\displaystyle\left|\frac{z-1-i}{z+\bar{z}+4}\right|=\frac{\sqrt2}4$.
  • (Françoise Gillardeau - 8.2) - Nature, éléments caractéristiques et représentation de $3x^2+4y^2-6x+16y+7=0$.
  • (François Sauvageot - 8.1) - Nature, éléments caractéristiques et représentation de $x^2+xy+y^2-x-y+\frac14=0$.
  • (François Sauvageot - 8.2) - Soit un ellipse de foyers $F$ et $F'$ et $\theta$ un réel. Calculer $\frac1{MF}+\frac1{M'F'}$ où $M$ et $M'$ sont les points d'intersection des demi-droites, issues respectivement de $F$ et $F'$, de direction $\vec{u}_\theta$ avec l'ellipse.
  • (François Sauvageot - 8.3) - Représenter $4x|x|+y^2-16x-20=0$.
  • (Jacques Paris - 8.1) - Soit ${\cal E}$ une ellipse de grand axe $AA'$. Soit $M$ un point quelconque de ${\cal E}$ distinct de $A$ et $A'$. La tangente en $M$ coupe ${\cal E}$ les tangentes à ${\cal E}$ en $A$ et $A'$ aux points respectifs $P$ et $P'$. Montrer que $\overline{AP}.\overline{A'P'}$ ne dépend pas de $M$.
  • (Jean-Louis Liters - 8.1) - Soit un ellipse de foyers $F$ et $F'$ et $\theta$ un réel. Calculer $\frac1{MF}+\frac1{M'F'}$ où $M$ et $M'$ sont les points d'intersection des demi-droites, issues respectivement de $F$ et $F'$, de direction $\vec{u}_\theta$ avec l'ellipse.
  • (Jean-Louis Liters - 8.2) - Soit la conique $\frac{x^2}4+y^2=d^2$. Trouver ses foyers $F$ et $F'$. Calculer $MF.MF'$ pour $M$ sur la conique.
  • (Jean-Louis Liters - 8.3) - Nature, éléments caractéristiques et représentation de $x^2+xy+y^2-x-y+\frac14=0$.
  • (Jean-Michel Rey - 8.1) - La tangente en $M$ à une hyperbole coupe ses asymptotes en deux points dont $M$ est le milieu.
  • (Jean-Michel Rey - 8.2) - Montrer que $(x(t);y(t))=(3/\sin(t);\sqrt3\cos(t)/\sin(t))$ est contenu dans une conique, à préciser.
  • (Mohammed Laadnani - 8.1) - On considère une hyperbole dont les asymptotes $D$ et $D'$ se coupent en $O$. La tangente $T_M$ en un point $M$ de l'hyperbole coupe les droites $D$ et $D'$ en $A$ et $A'$. Calculer l'aire du triangle $OAA'$.
  • (Mohammed Laadnani - 8.2) - On considère une droite $D$ et un point $A$ tel que $A \not\in D$. Déterminer le lieu des foyers des paraboles qui passent par $A$ et qui admettent $D$ comme directrice. Déterminer ensuite le lieu des sommets de ces paraboles.
  • (Mohammed Laadnani - 8.3) - $\mathcal{C}$ est un cercle de centre $F$ et de rayon $2a$ ($F$ donné et $a>0$). On considère un point $F'$ à l'intérieur du cercle $\mathcal{C}$ et on cherche le lieu des centres des cercles qui passent par $F'$ et qui sont tangents à $\mathcal{C}$. Que devient ce lieu si $F'$ était à l'extérieur du cercle $\mathcal{C}$ ?
  • (Philippe Skler 8.1) - Soit $O$ et $A$ deux points distincts, on considère l'ensemble des paraboles de foyer $O$ et passant par $A$. Déterminer et tracer l'ensemble des sommets de ces paraboles.
  • (Philippe Skler 8.2) - Construire l'ensemble des points $M$ de coordonnées $\left(x,y\right) $ vérifiant $\left( x-y\right) ^{2}-x-6.y+10=0$.
  • (Véronique Bluteau - 8.1) - Soit ${\cal C}$ une parabole et $P$ et $Q$ deux de ses points. La normale en $P$ (resp. $Q$) coupe l'axe de ${\cal C}$ en un point $M$ (resp. $N$). Soit $I$ le milieu de $[MN]$. Montrer $IP=IQ$.
  • (Véronique Bluteau - 8.2) - La tangente en point d'une hyperbole coupe ses asymptotes en $A$ et $A'$. Calculer l'aire de $OAA'$, pour $O$ le point de concours des asymptotes.
  • (Véronique Bluteau - 8.3) - Reconnaitre et tracer la courbe d'équation polaire $r=3/(1+2\sin(\theta))$.