Semaine 1

Semaine 1

  • (Abdelhaq Abdelqari - 1.1.1) - Soit (A) la proposition \(\forall f\in F\), \(\exists x\in\mathbf{R}\), \(f(x)=0\) et (B) la proposition \(\exists x\in\mathbf{R}\), \(\forall f\in F\), \(f(x)=0\). Quelle est l'implication qui est toujours vraie : \(A\Rightarrow B\) ou \(B\Rightarrow A\) ?
  • (Abdelhaq Abdelqari - 1.1.2) - Soit \(n\) un entier naturel. Calculer \(P_n=\displaystyle\sum_{0\leq 2k\leq n}{n\choose 2k}\) et \(I_n=\displaystyle\sum_{0\leq 2k+1\leq n}{n\choose 2k+1}\).
  • (Abdelhaq Abdelqari - 1.1.3) - Transformer en une somme chacun des produits \(\displaystyle\sum_{p=1}^ma_p\sum_{q=1}^nb_q\), \(\displaystyle\sum_{p=1}^ma_p\sum_{p=1}^nb_p\) et \(\displaystyle\left(\sum_{p=1}^ma_p\right)^2\).
  • (Abdelhaq Abdelqari - 1.2.1) - Soit A une partie de \(\mathbf{R}\), (H1) l'énoncé "Pour qu'un réel soit dans l'ensemble A, il faut qu'il vérifie la propriété P" et (H2) l'énoncé "Pour qu'un réel soit dans l'ensemble A, il suffit qu'il vérifie la propriété P". Parmi les proposition lesquelles sont équivalentes à (H1) ? à (H2) ? - Tout élément de A vérifie P. - Tout élément vérifiant P est dans A. - Si un réel est dans A, alors il vérifie P. - Si un réel vérifie P, alors il est dans A. - Pour qu'un réel vérifie P, il suffit qu'il soit dans A. - Si un réel ne vérifie pas P, alors il n'est pas dans A. - Si un réel n'est pas dans A, alors il ne vérifie pas P.
  • (Abdelhaq Abdelqari - 1.2.2) - Calculer les sommes suivantes : \(\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}\), \(\displaystyle\sum_{k=0}^nq^k(1-q)\) et \(\displaystyle\sum_{k=1}^nk.k!\).
  • (Anthony Maxilaris - 1.1) - \(A\cap B=A\cap C\Leftrightarrow A\cap\bar{B}=A\cap\bar{C}\).
  • (Anthony Maxilaris - 1.2) - Calculer \(\displaystyle S=\sum_{k=0}^n\sum_{i=k}^n{n\choose i}{i\choose k}\)
  • (Antoine Pichoff - 1.1.1) - Montrer que \(\forall a,b\in\mathbf{N}\), \(((a^2-1)b=1-3b^2)\Rightarrow b\neq1\)
  • (Antoine Pichoff - 1.1.2) - Compléter la suite logique : \(\displaystyle 1,2,4,8,16,31,57,\dots\) (On pourra utiliser la méthode des différences ...)
  • (Antoine Pichoff - 1.2) - Soient \(a,b\in\mathbf{R}\). Calculer \(\displaystyle \sum_{1\leq i\leq j\leq n}{j \choose i}a^ib^j\)
  • (Antoine Pichoff - 1.3) - Soit \(E\), un ensemble fini quelconque. Pour toute partie \(A\) de \(E\) (\(A\subset E\) ou \(A\in \mathcal{P}(E)\)), on définit la fonction suivante : $$\begin{array}{c c c c}\theta_A : & E & \rightarrow & \{0,1\} \\ & x & \mapsto & \left\{\begin{array}{c c}1 & \textrm{ si } x\in A \\0 & \textrm{ si } x\notin A \end{array}\right. \end{array}$$. Elle se nomme fonction indicatrice de l'ensemble \(A\). 1. Montrer l'équivalence entre les deux propositions suivantes :\(\forall A,B\subset E\), \(A = B \Longleftrightarrow \theta_A=\theta_B\) Soient \(A, B\) deux parties quelconque de \(E\). 2. Exprimer pour tout \(x\) dans \(E\), \(\theta_{\overline{A}}(x)\) en fonction de \(\theta_{A}(x)\). 3. Monter que la fonction indicatrice de \(A\cap B\) vérifie : \(\theta_{A\cap B}=\theta_A\times \theta_B\). 4. En déduire, à l'aide des lois de Morgan, une relation simple entre \(\theta_{A\cup B}\), \(1-\theta_A\) et \(1-\theta_B\). 5. Montrer alors que \(\theta_{A\cup B}=\theta_A+\theta_B-\theta_{A\cap B}\).
  • (Antoine Pichoff - 1.4) - Voici un algorithme simple à suivre : i. Écrire les entiers sur une même ligne ii. Entourer un nombre sur trois iii. Additionner tous les nombres à la gauche de ces derniers (sauf ceux entourés) iv. Entourer les derniers nombres obtenus (pour chaque bloc de 2) v. Additionner tous les nombres à la gauche de ces derniers. illustration : \(\displaystyle 1,2,(3),4,5,(6)\dots\) \(\displaystyle 1,(3),7,(12),\dots\) \(\displaystyle 1,8\dots\) 1. Qu'obtenez-vous ? 2. Que se passe-t-il si l'on commence par entourer un nombre sur quatre ? 3. Expliquer ces résultats.
  • (Antoine Pichoff - 1.5) - Soit \(n,k\in\mathbf{N}^*\) et \(k\leq n\). On note \(\left[\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right]\), le coefficient de \(x^{n-k}\) dans le développement du polynôme \(\displaystyle 1(1+x)(1+2x)\dots(1+(n-1)x)=\prod_{i=1}^{n-1}(1+ix)\) 1. Calculer \(\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\), \(\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]\), \(\left[\begin{array}{c}2\\2\end{array}\right]\), \(\left[\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right]\) et \(\left[\begin{array}{c}4\\3\end{array}\right]\). 2. Montrer que \(\displaystyle \left[\begin{array}{c}n+1\\k\end{array}\right]=n\left[\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}n\\k-1\end{array}\right]\) 3. Montrer que \(\left[\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right]\) dénombre les permutations de \(n\) objets qui ont exactement \(k\) cycles.
  • (Antoine Pichoff - 1.6) - Montrer que pour tout \(n\in\mathbf{N}\), pour tout famille \((a_1,a_2,\dots a_n)\) de nombres réels positifs, \(\displaystyle \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}\leq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k\) En déduire \(\displaystyle 1+x\leq \left(1+\frac{x}{n}\right)^n\leq \frac{1}{1-x}\). Quelle est la limite de cette inégalité (pour \(n\) tendant vers \(+\infty\)) ?
  • (Bertrand des Abbayes - 1.1.1) - Calcul de a, b, c, d lorsque $y=-60,-24,-6,0$ pour $x=0,1,2,3$.
  • (Bertrand des Abbayes - 1.1.2) - Soit $n\in\Nd^*$. Calculer $\sum_{k=n+1}^{2n+1}{2n+1\choose k}$.
  • (Bertrand des Abbayes - 1.2) - Soit $n\in\Nd^*$, montrer que $\sum_{i=1}^ni^5+\sum_{i=1}^ni^7=2\sum_{i=1}^ni^4$.
  • (Bertrand des Abbayes - 1.3) - Calcul de $\sum_{k=0}^nk{n\choose k}$.
  • (Didier Robbes - 1.1) - Calculer $\sum_{k=0}^nk{n\choose k}$.
  • (Didier Robbes - 1.2) - Calculer $S_n=\sum_{k=0}^nk{n\choose n-k}$ pour de petites valeurs de $n$. Démontrer par récurrence $S_{n+2}=S_{n+1}+S_n$.
  • (Didier Robbes - 1.3.1) - Calculer $\sum_{k=0}^nk.k!$.
  • (Didier Robbes - 1.3.2) - Écrire une expression logiquement équivalente au système $(x-1)(y-2)=0$ et $(x-2)(y-3)=0$.
  • (Françoise Gillardeau - 1.1.1) - Démonstration du triangle de Pascal par le dénombrement.
  • (Françoise Gillardeau - 1.1.2) - Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}2\right]}{n\choose 2k}\) et \(\displaystyle\sum_{k=0}^{\left[\frac{n-1}2\right]}{n\choose 2k+1}\).
  • (Françoise Gillardeau - 1.2) - Démontrer \(\displaystyle\forall p\in\mathbf{N},\forall n\geq p, n\in\mathbf{N}\sum_{k=p}^n{k\choose p}={n+1\choose p+1}\). En déduire \(\displaystyle\sum_{k=0}^nk^3\).
  • (Françoise Gillardeau - 1.3) - Quantifier de toutes les façons possibles \(x\in\mathbf{N},y\in\mathbf{N},z\in\mathbf{N},x=yz\) et dire lesquelles sont vraies parmi ces propositions.
  • (François Sauvageot - 1.1.1) Établir, pour tous prédicats R, S et T : \((R\Rightarrow S) \Rightarrow \left((S\Rightarrow T)\Rightarrow (R\Rightarrow T)\right)\).
  • (François Sauvageot - 1.1.2) Comparer \(e^\pi\) et \(\pi^e\). Indication : utiliser la concavité du logarithme. Indication supplémentaire : majorer \(\ln(\pi/e)\).
  • (François Sauvageot - 1.2.1) Montrer, pour tous prédicats R et S, \((R\vee S)\Leftrightarrow\left((R\Rightarrow S)\Rightarrow S\right)\).
  • (François Sauvageot - 1.2.2) Résoudre, pour \(x\) réel, \(\cos(x)+\sin(x)=1\).
  • (François Sauvageot - 1.3.1) Avec les règles de logique, donner une forme positive de la phrase "Il ne se trouvera aucun sportif pour nier que le contraire n'eut été immérité."
  • (François Sauvageot - 1.3.2) En considérant le coefficient de \(a^{10}b^8c^9\) dans \((a+b+c)^{27}\), établir \(\displaystyle{27\choose10}{17\choose8}={27\choose8}{19\choose9}\).
  • (Jacques Paris - 1.1) - Calculer $\sum_{k=0}^{[n/2]}{n\choose 2k}$.
  • (Jacques Paris - 1.2.1) - Exprimer sous deux formes, à l'aide de quantificateurs, "f ne prend jamais deux fois la même valeur".
  • (Jacques Paris - 1.2.2) - Calcul de $\sum_{k=0^n}k^2{n\choose k}$.
  • (Jacques Paris - 1.3.1) - Établir par deux méthodes $A\cap B=A\cup B\Rightarrow A=B$.
  • (Jacques Paris - 1.3.2) - Expression de phrases du type : "f n'est pas la fonction nulle" à l'aide de quantificateurs.
  • (Jean-Louis Liters - 1.1) Pour \(n\) et \(p\) entiers, on définit une quantité \(K(n,p)\) par : \(K(n,0)=1\), \(K(0,p)=1\) et \(K(n+1,p+1)=K(n+1,p)+K(n,p+1)\). Montrer que $$K(n,p)={n+p\choose n}={n+p\choose p}.$$
  • (Jean-Louis Liters - 1.2) Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^nk^2{n\choose k}\) par plusieurs méthodes, dont l'emploi de \(f(x)=(1+e^x)^n\).
  • (Jean-Louis Liters - 1.3) Dans \(\mathbf{N}^*\), si \(a_1+a_2+\cdots+a_p\leq n\), alors \(a_1!a_2!\ldots a_p!\) divise \(n!\).
  • (Jean-Michel Rey - 1.1.1) - Si $p\leq n$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-p}{p+k\choose p}={n+1\choose p+1}$.
  • (Jean-Michel Rey - 1.1.2) - Montrer $|x|\leq y\Rightarrow -y\leq x\leq y$.
  • (Jean-Michel Rey - 1.2) - Montrer $n^2$ pair $\Rightarrow n$ pair.
  • (Jean-Michel Rey - 1.3) - Calculer $\sum_{k=0}^n{n\choose k}$, $\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}$, $\sum_{k=0}^nk{n\choose k}$.
  • (Mohammed Laadnani - 1.1) - Calcul de $\sum_{k=1}^nk^2$.
  • (Mohammed Laadnani - 1.2) - Résoudre $A\cap X=B$.
  • (Mohammed Laadnani - 1.3) - Calcul de $\sum_{i+j=n}ij$.
  • (Philippe Skler - 1.1) Montrer \(A=B\Leftrightarrow A\cup B = A\cap B\)
  • (Philippe Skler - 1.2.1) Montrer \(\sum_{k=0}^{p}{p+q \choose k}{p+q-k\choose p-k}=2^{p}{p+q\choose p}\).
  • (Philippe Skler - 1.2.2) Résoudre dans \(\mathcal{P}(E)\) l'équation \(A\cap X=B\)
  • (Philippe Skler - 1.3) Montrer \(\left. \begin{array}{c} A\cup B=A\cap C \\ A\cup C=C\cap B \\ B\cup C =B\cap A \end{array} \right\}\Rightarrow A=B=C \).
  • (Véronique Bluteau - 1.1) - Montrer $A=B\Leftrightarrow A\cap B=A\cup B$.
  • (Véronique Bluteau - 1.2) - Exprimer sous forme quantifiée "A strictement inclus dans B" et "A non inclus dans B".
  • (Véronique Bluteau - 1.3.1) - Soit $(u_n)_{n\in\Nd}$ une suite réelle. Traduire par une phrase quantifiée $(u_n)$ constante, $(u_n)$ non constante. Démontrer que l'expression quantifiée de la négation est bien égale à ce qui a été trouvé précédemment.
  • (Véronique Bluteau - 1.3.2) - Résoudre $X\cup A=B$.